Durchschnittlicher Kathetenabstand

08.06.2019, 18:15

Carsten1248

Durchschnittlicher Kathetenabstand

Hallo zusammen,

1. KORREKTUR des Titels: gleichschenkliges statt gleichseitiges Dreieck!! (Admin: könnte das umbenannt werden?)

Das Dreieck ist weder gleichseitig noch gleichschenklig. Ich hab den Titel angepasst. Steffen

Es geht um ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Seitenlängen ab, ac und bc, rechter Winkel bei C, siehe Anhang.

Wie groß ist der durchschnittliche Abstand A-bc* des Punktes A zur Strecke bc?
kleinster Abstand = ac
größter Abstand = ab = Wurzel[(ac)²+(bc)²]

Die Näherung über eine wachsende Anzahl Abstandswerte (10, 100, 1000, ...) führt zu einem Integral:
A-bc* = Integral_|bc; 0|_{Wurzel[(x)²+(ac)²]}

Ist das korrekt?

Grüße, Carsten

08.06.2019, 21:02

klauss

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RE: gleichseitiges Dreieck, duchschnittlicher Abstand eines Eckpunkts zur gegenüberliegenden Seite
Meine Idee: Aufstellen einer Abstandsfunktion und Berechnung deren Mittelwerts.

Dafür lege ich das Dreieck in ein Koordinatensystem mit A(0|0) und C(x|0). Bei A liege der Innenwinkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Dann hat die Strecke AB die Länge $\begin{eqnarray*} d(\alpha)=\frac{x}{cos\alpha } \end{eqnarray*}$ .

Den Mittelwert von $\begin{eqnarray*} d(\alpha) \end{eqnarray*}$ für irgendeinen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , mit dem B dann die Koordinaten (x|x $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ tan $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ) besitzt, berechne ich durch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha} \! \frac{x}{cos\phi } \, d\phi =...=\frac{x}{\alpha}\cdot ln\left(tan\alpha +\frac{1}{cos\alpha } \right) \end{eqnarray*}$

Wählt man nun z. B. x=1 und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =45° (gleichschenkliges Dreieck), dann wäre
$\begin{eqnarray*} \overline{d}=\frac{4}{\pi}ln\left(1+\sqrt{2} \right) \end{eqnarray*}$

Mögen hier aber noch andere Fachkräfte drüberschauen, ob irgendwo Fehler sind.

08.06.2019, 23:55

Carsten1248

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RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Danke für den Hinweis, weder gleichschenklig noch -seitig, es sollte rechtwinklig heißen.
VG

09.06.2019, 20:11

Carsten1248

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RE: RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Setze ich in meiner Abstandsfunktion A-bc* = Durchschnittsabstand = Integral_|bc; 0|_{Wurzel[(x)²+(ac)²]} wie bei klauss bc=1 und ac=1 (= gleichschenkliges Dreieck), dann resultiert abweichend:
$\begin{eqnarray*} Durchschnittsabstand = \frac{arcsinh(1)+\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ = 1.147793574696319
Die Lösung von Klauss Gleichung = 1.1221997

09.06.2019, 20:28

Carsten1248

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RE: RE: RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
$\begin{eqnarray*} Durchschnittsabstand = \frac{arcsinh(1)+\sqrt{2}}{2} = \frac{ln(1+\sqrt{2})+\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ = 1.147793574696319

09.06.2019, 20:46

Leopold

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Vielleicht bin ich ja zu blöd. Aber ich verstehe diese Aufgabe überhaupt nicht. Wie klauss aus diesen hieroglyphischen Angaben etwas Sinnvolles herausgelesen hat, ist mir schleierhaft.
Was ist hier gegeben, was ist gesucht? Was ist fest? Was ist variabel? Wenn es um einen Mittelwert geht: wie ist die zu mittelnde Größe verteilt?
Und wenn man Bezeichnungskonventionen, hier der Geometrie, der Analysis, der Wahrscheinlichkeitsrechnung, nicht einhält, dann muß man dafür gute Gründe haben. Nicht immer, wenn jemand eine chaotische Darstellung wählt, steckt ein Genie dahinter.

09.06.2019, 21:09

Carsten1248

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RE: Leopold
Hallo Leopold,

gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC, Seitenlängen ab, ac, bc, rechter Winkel bei C, siehe Bild,
gesucht: durchschnittlicher Abstand des Punktes A zur Strecke bc.

einige Aussagen:
kleinster Abstand = ac
größter Abstand = ab = Wurzel[(ac)²+(bc)²]
kleinster Abstand < durchschnittlicher Abstand < größter Abstand

VG

09.06.2019, 21:35

Leopold

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RE: Leopold

Zitat:

Original von Carsten1248
Hallo Leopold,

gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC, Seitenlängen ab, ac, bc

Schon der Anfang ist chaotisch. In der Elementargeometrie bezeichnet man in einem Dreieck ABC die dem jeweiligen Punkt gegenüberliegenden Seiten mit a,b,c.

Zitat:

Original von Carsten1248
Hallo Leopold,

gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC, Seitenlängen ab, ac, bc, rechter Winkel bei C, siehe Bild,
gesucht: durchschnittlicher Abstand des Punktes A zur Strecke bc

Wie kann in einem gegebenen Dreieck ein Punkt einen durchschnittlichen Abstand haben? Das kann doch nur sein, wenn der Punkt in irgendeiner Weise variabel ist.
Deine Problembeschreibung ist unverständlich. Du hast sie im übrigen vom Eröffnungsbeitrag wiederholt. Etwas Unverständliches wird durch Wiederholung nicht verständlicher.

10.06.2019, 10:01

klarsoweit

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RE: Leopold
Was ich verstanden habe: man betrachtet alle Punkte P auf der Strecke BC und mißt deren Abstand zum Punkt A. Wie groß ist nun der durchschnittliche Abstandswert?

10.06.2019, 10:55

Carsten1248

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RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Hallo,

die Zeichnung habe ich der angemahnten Darstellung in der Elementargeometrie angepasst.

Gegeben: rechtwinkliges Dreieck ABC, Seitenlängen a, b, c, rechter Winkel bei C.

Gesucht: durchschnittlicher Abstand von Punkt A zu (den unendlich vielen Punkten auf) Strecke a

Variabilität soweit, dass es unendlich viele Strecken von Eckpunkt A bis zu den unendlich vielen Punkten auf Strecke a gibt:
(kleinster Abstand = b) < durchschnittlicher Abstand < (größter Abstand = c),
Abstand(x) = Wurzel(b²+x²), 0 <= x <= a.

VG

10.06.2019, 11:44

Scotty1701D

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RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Wichtig ist bei solchen Aufgaben, über weclche Größe gemittelt wird. In der Lösung von klauss wurde z.B. über den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gemittelt.
Deine Beschreibung legt aber nahe, dass über die Strecke a gemittelt wird. Dein Ansatz im ersten Post ist dafür (trotz der chaotischen Schreibweise) schon richtig, aber das Integral muss noch durch die Länge der Strecke dividiert werden:
$\begin{eqnarray*} l=\frac{1}{a}\int_0^a \sqrt{x^2+b^2}\,dx<br /> =\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a}\ln\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{b}\right)<br /> =\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a}\operatorname{arsinh}\left(\frac{a}{b}\right)\right)<br /> \end{eqnarray*}$

LG
Andreas

10.06.2019, 11:49

Leopold

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RE: Leopold

Zitat:

Original von klarsoweit
Was ich verstanden habe: man betrachtet alle Punkte P auf der Strecke BC und mißt deren Abstand zum Punkt A. Wie groß ist nun der durchschnittliche Abstandswert?

Ach so! Dann ist das aber nicht der Abstand von $\begin{align*} A \end{align*}$ zu Strecke $\begin{align*} BC \end{align*}$ , denn der ist ja konstant $\begin{align*} b \end{align*}$ , wegen des rechten Winkels. Sondern es geht um den Abstand von $\begin{align*} A \end{align*}$ zu einem Punkt (!) $\begin{align*} X \end{align*}$ der Strecke $\begin{align*} BC \end{align*}$ . Dieses $\begin{align*} X \end{align*}$ ist also die Variable, nach der ich die ganze Zeit suche.

Jetzt kommt es ganz darauf an, wie $\begin{align*} X \end{align*}$ verteilt ist.

1. Man könnte $\begin{align*} X \end{align*}$ als gleichverteilt im Intervall $\begin{align*} \Omega=[0,a] \end{align*}$ annehmen. Dann erhält man die Lösung von Carsten1248.

2. Man könnte aber auch, wie es klauss getan hat, den Winkel $\begin{align*} \alpha = \arctan \left( \frac{X}{b} \right) \end{align*}$ als gleichverteilt im Intervall $\begin{align*} \Omega'=\left[ 0, \arctan \left( \frac{a}{b} \right) \right] \end{align*}$ annehmen. Dann erhält man seine Lösung.

Beide Ansätze erscheinen mir vernünftig und natürlich. Sie führen zu unterschiedlichen Ergebnissen. Eine andere Verteilung - ein anderer Mittelwert.

10.06.2019, 13:54

klauss

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RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Danke auch an die weiteren Helfer. Freut mich schon mal, dass mein Vorschlag zumindest nicht falsch war, obwohl ich auch Carsten1248 gern die Lorbeeren überlassen hätte.
Dass hier die Verteilung der zu mittelnden Größe reinspielt, ist im Nachhinein verständlich, obwohl man rein geometrisch eigentlich den einen mittleren Abstand erwartet hätte.
Immerhin läßt sich anhand der folgenden Grafik erahnen, dass die 2 "Abstandsfunktionen", die beide ihre Berechtigung haben, zwischen y=1 und y=Wurzel(2) unterschiedliche Ergebnisse liefern könnten.

10.06.2019, 14:42

Carsten1248

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RE: RE: Durchschnittlicher Kathetenabstand
Hallo,

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt kommt es ganz darauf an, wie X verteilt ist.

Wie/wodurch wird die 'korrekte' Verteilung bestimmt? Letztlich würde ich die Existenz genau eines mittleren Abstands erwarten.
Durch den eingeschlossenen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 0° \end{eqnarray*}$ (bei Eckpunkt A) frage ich mich, wie die einzelnen Abstandswerte untereinander gewichtet sind, wieweit das Abstandsintegral einfach "durch die Länge der Strecke dividiert werden" kann.

Randinfo, vgl. Wikipedia, /wiki/Sinus_hyperbolicus_und_Kosinus_hyperbolicus#Umkehrfunktionen
der Term in Andreas' Gleichung kann demnach "mit Hilfe von elementareren Funktionen" ausgedrückt werden: $\begin{eqnarray*} arsinh\left(\frac{a}{b}\right) = \ln\left(\left(\frac{a}{b}\right) + \sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)^{2}+1}\right) \end{eqnarray*}$

VG

10.06.2019, 16:21

Leopold

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Stell dir einfach den Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ auf der Strecke $\begin{align*} CB \end{align*}$ vor, wie er von unten nach oben wandert. In deinem Ansatz wandert er mit gleichbleibender Geschwindigkeit auf der Strecke.

[attach]49355[/attach]

Jetzt gehen wir zum Ansatz von klauss. Er läßt den Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ zwischen $\begin{align*} AC \end{align*}$ und $\begin{align*} AX \end{align*}$ gleichmäßig ansteigen. Wenn die Hälfte von $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ zurückgelegt ist, ist $\begin{align*} X \end{align*}$ noch nicht in der Mitte von $\begin{align*} CB \end{align*}$ angelangt. Anders gesagt: Die Winkelhalbierende von $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ halbiert nicht die Strecke $\begin{align*} CB \end{align*}$ . Kannst du dir das vorstellen? Während also der Winkel $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ von 0 auf $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ gleichmäßig ansteigt, muß $\begin{align*} X \end{align*}$ im unteren Bereich in derselben Zeit weniger Strecke zurücklegen als im oberen. Anders gesagt: $\begin{align*} X \end{align*}$ beschleunigt sich. Da $\begin{align*} X \end{align*}$ sich unten länger aufhält als oben, sind die unteren Abstände von $\begin{align*} A \end{align*}$ nach $\begin{align*} X \end{align*}$ jetzt wahrscheinlicher als in deinem Ansatz. Daher sinkt der Mittelwert: klauss' Mittelwert ist kleiner als deiner.

Es gibt also keine "korrekte" Verteilung. Sondern die oder die oder die oder ...

Schau dir auch die dynamische Zeichnung im Anhang an. Verwende Euklid zum Öffnen der Datei.

10.06.2019, 21:05

Carsten1248

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RE: Leopold
Hallo,

@Leopold: danke für die detaillierten Ausführungen und die Animation, habe es verstanden.
Mal sehen, welche Annahme über die Verteilung zu treffen ist, wenn es um die eigentliche "Aufgabe" geht:

Gegeben: regelmäßige konvexe n-Ecke, n > 2 (z. B. n = 4: Quadrat), n = Anzahl der Seiten mit Länge s, n * s = Umfang

Gesucht 1: durchschnittlicher Durchmesser d' jedes n-Ecks, ggf. in Beziehung zu s

Anmerkungen / Lösungsansätze:
- Durchmesser verlaufen durch die Mittelpunkte der n-Ecke
- jedes n-Eck wird in 2*n formgleiche rechteckige Dreiecke aufgeteilt -> man erhält die bisherige Aufgabe in etwas abgewandelter Form (Betrachtung läuft über 2 gegenüberliegende Dreiecke, die einen gemeinsamen Eckpunkt im Mittelpunkt des n-Ecks haben)
- n < unendlich: s > 0
- n = unendlich: s = 0(?), d' = Kreisdurchmesser = u / $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

Gesucht 2: Verallgemeinerung der Kreiszahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ = u / d für n < unendlich: pi[n] = n*s/d'

Anmerkungen / Lösungsansätze:
- Festlegung für unten stehende Berechnungen: u $\begin{eqnarray*} \equiv \pi \end{eqnarray*}$ für alle n -> es folgt für n=unendlich: d' = d $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 1
- bisherige Berechnungen:
pi[n=3] = 3,78543277, d'[3] = 0,82994
pi[n=4] = 3,4849471962398, d'[4] = 0,90147496552588

VG

10.06.2019, 23:12

Scotty1701D

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RE: Leopold

Zitat:

Original von Carsten1248
Gesucht 1: durchschnittlicher Durchmesser d' jedes n-Ecks, ggf. in Beziehung zu s

Anmerkungen / Lösungsansätze:
- Durchmesser verlaufen durch die Mittelpunkte der n-Ecke
- jedes n-Eck wird in 2*n formgleiche rechteckige Dreiecke aufgeteilt -> man erhält die bisherige Aufgabe in etwas abgewandelter Form (Betrachtung läuft über 2 gegenüberliegende Dreiecke, die einen gemeinsamen Eckpunkt im Mittelpunkt des n-Ecks haben)

Aha, in diesem Fall scheint mir dann die Mittelung über den Winkel doch angebrachter, da man sich für den mittleren Abstand vorstellen muss, dass das n-Eck gleichmäßig um den Mittelpunkt rotiert.
Möglicherweise macht es einen Unterschied, ob n gerade oder ungerade ist, aber ich bin jetzt zu müde um darüber nachzudenken Wink

LG
Andreas

11.06.2019, 20:28

Leopold

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Ein alternativer Vorschlag für einen Mittelwert. Nimm als durchschnittlichen Halbmesser den Radius eines Kreises, der zum Polygon flächengleich ist.

Es sei $\begin{align*} R \end{align*}$ der Umkreisradius des regelmäßigen $\begin{align*} n \end{align*}$ -Ecks. Dann besitzt es den Flächeninhalt $\begin{align*} R^2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right) \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} r \end{align*}$ der Radius eines Kreises von gleichem Flächeninhalt, so folgt

$\begin{align*} r = R \cdot \sqrt{\frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right)}{\frac{2 \pi}{n}}} \end{align*}$

Die Methode von klauss mit gleichmäßiger Winkeländerung liefert

$\begin{align*} r' = R \cdot \frac{\cos \left( \frac{\pi}{n} \right)}{\frac{\pi}{n}} \cdot \int \limits_0^{\frac{\pi}{n}} \frac{\dd \varphi}{\cos \varphi} = R \cdot \frac{\cos \left( \frac{\pi}{n} \right)}{\frac{\pi}{n}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \left( \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n} \right) - \ln \left( 1 - \sin \frac{\pi}{n} \right) \right) \end{align*}$

Auf 0,00001 genau habe ich folgende Ergebnisse erhalten

$\begin{align*} \begin{matrix} n & \frac{r}{R} & \frac{r'}{R} \\ 3 & 0{,}64304 & 0{,}62880 \\ 10 & 0{,}96721 & 0{,}96710 \\ 20 & 0{,}99178 & 0{,}99178 \end{matrix} \end{align*}$

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