Integralrechnung mit negativen Intervallwerten

08.06.2019, 18:38	JS992	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung mit negativen Intervallwerten Meine Frage: Warum ist es zulässig, dass bei einem Intervall von [-3;-1] beim Hauptsatz der Integralrechnung der Wert von F(x)=ln(x)-1/x existiert, obwohl der ln für negative Werte nicht definiert ist? Anbei ein Ausschnitt der Berechnung mittels matheguru.de: Meine Ideen: -
08.06.2019, 20:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reelle Integral $\begin{align} \int_{-2}^{-1} \frac{\dd x}{x} \end{align}$ stimmt mit dem komplexen Kurvenintegral $\begin{align} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} \end{align}$ überein, worin der Weg $\begin{align} \gamma \end{align}$ gerade die Strecke von -2 bis -1 ist. Nun besitzt $\begin{align} f(z) = \frac{1}{z} \end{align}$ auf einer Umgebung von $\begin{align} \gamma \end{align}$ eine Stammfunktion $\begin{align} F(z) = \ln(z) \end{align}$ , wobei $\begin{align} \ln(z) \end{align}$ ein geeigneter Zweig des komplexen Logarithmus ist. Man kann $\begin{align} 0 < \arg(z) < 2 \pi \end{align}$ nehmen. Und wenn eine Stammfunktion existiert, kann man das Integral wie im Reellen berechnen: $\begin{align} \int_{-2}^{-1} \frac{\dd x}{x} = \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} = \ln(-1) - \ln(-2) = \operatorname{i} \pi - \left( \ln(2) + \operatorname{i} \pi \right) = - \ln(2) \end{align}$ Wenn du keine komplexen Zahlen kennst, ist das für dich natürlich nicht verständlich. Ich halte diesen Lösungsweg für abenteuerlich, wenn auch korrekt. Besser rechnest du rein reell: $\begin{align} F(x) = \ln(-x) \end{align}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{align} f(x) = \frac{1}{x} \end{align}$ für $\begin{align} x<0 \end{align}$ .

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