Grenzwert einer Stammfunktion

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Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Stammfunktion
Meine Frage:
Aufgabe:




Meine Ideen:
Idee:
Das Integral habe ich bereits gelöst und komme mit der partiellen Integration auf ein Integral von.

\frac{{-\ln{{t}}^{2} - 2\ln{x} - 2 + 2x}{x}
Wenn ich hier jetzt für x unendlich einsetze, dann müsste ja der Typ
herauskommen und das wäre ja dann mittels de l'Hospital zu lösen.

Frage:
Wie geht man dabei vor, wenn man mit einem Integral dieser Größe, den Grenzwert bestimmen möchte ?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integral sollte noch im Latex Tag stehen.
Also:

 
 
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Also als Grenzwert soll da 2 rauskommen.
Die Frage ist nur wie ?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht ganz klar, was Du da gerechnet hast. Wie immer man an eine Stammfunktion kommt, das Integral wird zu

Für die Obergrenze muß man halt mit anderen bekannten Mitteln eine Grenzwertbestimmung vornehmen. Dann kommt insgesamt 2 raus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versucht, vom Ergebnis her zu erraten, was du meinst:



oder



Leider ist mir das nicht gelungen, da beide Integrale merkwürdigerweise denselben Wert besitzen, nämlich 2.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich soll das jedoch mit dem limes lösen, also das was auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht.

Also die eigentliche Aufgabe lautet konkret:
Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Wert des uneigentlichen Riemann-Integral:



Das F(x) hatte ich davor schon bestimmt, das war auch richtig.
Da hatte das Integral die Grenzen 1 bis x also:



Da hatte ich wie oben bereits geschrieben, den Bruch mit Ln raus.
Jetzt würde ich das gerne ohne das einsetzen der Grenzen und machen sondern nur mittels Grenzwert bzw. der Konvergenz.
Auch wenn beides das selbe ist soll man da mittels de L'Hospital der Stammfunktion ebenfalls an die 2 herankommen.
Die Frage ist nur, wie macht man das ?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht also doch um
Chaotica Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mich auch, wie du auf dieses Integral

Zitat:
Original von Gast006


gekommen bist. Wenn ich es ableite, erhalte ich zwar tatsächlich wieder f(x). (Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet.)
Wenn ich f(x) jedoch selbst partiell integriere, erhalte ich:

| Grenzen einsetzen
| Bruch mit der unteren Grenze des Integrals berechnen/zusammenfassen
| Satz von L'Hopital anwenden

| Grenzwert immer noch unbestimmt, daher wieder Satz von L'Hopital anwenden

| Dieser Grenzwert strebt offensichtlich gegen 0, also:




Mit deinem Integral funktioniert der Weg genauso, und es kommt auch wieder der selbe Wert heraus.
Dabei wird dein Integral an der unteren Grenze 0, während der Grenzwert dann wiederum den Wert 2 ergibt.
Probier es einfach mal aus. smile

Nebenbei: Die Grenzen würde ich in jedem Fall zunächst einsetzen.
Im oben dargestellten Fall siehst du, dass ich den Wert 0 erhalten hätte, wenn ich nur den Grenzwert für die obere Grenze des Integrals betrachtet hätte, ohne mich um die untere Grenze zu kümmern. Augenzwinkern
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast im Zähler eine 2 vergessen aber nichts desto trotz hätte ich für den oberen Grenzwert eingesetzt und für den unteren Grenzwert eingesetzt hätte ich dann

Dann hätte ich ja schon mal zwei mal den Typ .
Wie komme ich direkt ohne den L'Hospital gemacht zu haben, auf den Grenzwert von 2?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich bereits beim ersten Schritt vom limes nicht wie du dort im Zähler gerechnet hast.

L'Hospital ist ja einfach nur Zähler und Nenner abgeleitet und gucken gegen was das strebt.
Da sehe ich im Nenner eine Ableitung aber im Zähler ist das ja wohl keine Ableitung.
Wenn du 1 eingesetzt hast. Klappt es nicht mit eins da du gesagt hast, dass das x gegen strebt und nicht gegen unendlich.
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

ich meinte natürlich das x strebt gegen unendlich und nicht gegen 1
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast beim ersten Schritt statt unendlich x eingesetzt aber ich verstehe schon was du damit versuchst zu sagen. Wenn ich für die Stammfunktion unendlich einsetze, habe ich unendlich durch und dann muss ich den ersten Teil nach L'Hospital ableiten.
Habs jetzt denke ich mal verstanden.

Vielen Danke für deine Mühe Chaotica smile
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage am Rande.
Darf ich an der Stelle wo du geschrieben hast | Grenzen einsetzen, unendlich nicht einsetzen, wenn ich weiss das dort unendlich durch unendlich raus kommt und wenn ich das weiss,
kann ich die untere Grenze immer schon mal einsetzen ?
Ich denke das ist deshalb so gemeint, dass man vorerst nur die untere Grenze einsetzt und dann durch den limes das unendlich dazu bastelt.
Dann kann ich ja pauschal sagen, untere Grenze kann einsetzen aber bei unendlich erst durch das limes.
Chaotica Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast006
Du hast im Zähler eine 2 vergessen

Das wage ich jetzt nicht ganz auszuschließen, kann aber gerade nicht entdecken, wo das sein soll. Vielleicht sehe ich es ja nach einer Runde Schlaf.
Nachdem ich vorhin 3 mögliche Integrale deiner ursprünglichen Angaben durchgerechnet habe, sehe ich momentan nur noch 2en... Augenzwinkern

Allerdings habe ich gerade festgestellt, dass ich im Eifer des Gefechts beim Integrieren versehentlich die Integrationsvariable mal eben von t auf x geändert habe. Ups
Vielleicht kann später ein Moderator/Admin den ersten Schritt oben noch ändern auf:


Zitat:
Original von Gast006
Du hast beim ersten Schritt statt unendlich x eingesetzt aber ich verstehe schon was du damit versuchst zu sagen.

Entschuldige bitte! Abgesehen davon, dass ich - wie eben erwähnt - versehentlich die Integrationsvariable vertauscht habe, kommt hinzu, dass ich darauf folgend noch folgenden "Zwischenschritt" hätte einfügen können/sollen:
| Jetzt erst die Grenzen einsetzen. Augenzwinkern

Und die Erklärung dazu ist auch gleichzeitig die Antwort auf deine letzte Frage:
Ich habe jedenfalls einst gelernt, dass man "offiziell" nicht einfach in einen Term einsetzen darf, da die Unendlichkeit keine feste Zahl ist. Daher setzt man eine Laufvariable ein, die man dann in die Unendlichkeit laufen lässt ().
Die untere Grenze ist in diesem Fall eine feste Zahl (1), also kannst du jene hier ganz normal einsetzen. smile
Auf diese ergibt sich dann endlich die zweite Zeile meiner obigen Rechnung.

Zitat:
Original von Gast006
aber nichts desto trotz hätte ich für den oberen Grenzwert eingesetzt und für den unteren Grenzwert eingesetzt hätte ich dann

Dann hätte ich ja schon mal zwei mal den Typ .
Wie komme ich direkt ohne den L'Hospital gemacht zu haben, auf den Grenzwert von 2?

Ich war eigentlich davon ausgegangen, dass du gerade deshalb, weil du hier einen unbestimmten Ausdruck der Form hast, den Satz von l'Hopital anwenden wolltest und deshalb danach gefragt habest. geschockt


Ich hoffe jedenfalls, dass ich dir ein wenig weiterhelfen konnte. Jetzt gehe ich erst einmal schlafen.
Du kannst natürlich gerne weiter Fragen stellen. Im Zweifel wird dir baldmöglichst jemand anders weiterhelfen.
(Die meisten anderen hier, z.B. klauss und Leopold, die oben zuerst geantwortet hatten, haben ohnehin mehr Ahnung als ich! Augenzwinkern )

Und noch ein Hinweis zum Schluss: Wenn du dich hier im Forum anmeldest (ist kostenlos), kannst du deine Beiträge noch 15min nach dem Erstellen ändern. Auf die Weise kann man manchmal vermeiden, mehrere einzelne Beiträge hintereinander verfassen zu müssen. smile

Ich wünsche dir eine gute Nacht! Schläfer
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt mal folgendes Rieman-Integral auf Konvergenz geprüft.


Dabei ist das uneigentliche Riemann - Integral was auf Konvergenz geprüft werden soll, das folgende Integral:



und komme da auf 0

Kann mir ma eben jemand sagen, ob das stimmt ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du eigentlich genau berechnen? Da kommt ein Integral daher von bis , dann auf einmal von 0 bis . Und dann das mysteriöse "hoch -1". Warum steht der Term nicht gleich im Nenner? Bei schreibst du ja auch nicht . Wenn Leute Schreibweisen so inkonsequent verwenden, ist meist etwas faul. Ich habe auch fast den Verdacht, daß hier die Umkehrfunktion des tangens hyperbolicus gemeint ist:
Bitte kläre diese Fragen, bevor du nach Hilfe fragst.
gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Es war der artanh gemeint genau.
Ich wusste nur den Befehl dazu nicht.

Von dem oberen Integral sollte erstmal die Stammfunktion berechnet werden und im Anschluß die Konvergenz des uneigentlichen Riemann-Integral's bestimmt werden.
Da wurden die Grenzen getauscht.

Ich schreibe mal die Aufgabe konkret auf, damit das dann vielleicht in der Hoffnung deutlich wird.

Also:
Aufgabe:
Berechnen Sie die durch

definiert Abbildung und bestimmen Sie in den Punkten in denen Differenzierbarkeit vorliegt die Ableitung .

Bestimmen Sie (d.h. also mit Begründung) im Falle der Konvergenz den Wert des uneigentlichen Riemann-Integrals:



Idee:
Stammfunktion ausgerechnet, komme da auf


Weiter habe ich dann für uneigentliche Integral, die Grenzen wie folgt eingesetzt:


Da habe ich dann 0 raus bekommen.
Jetzt weiss ich nicht ob das so richtig ist oder ob das überhaupt so zu verstehen ist, dass ich wie in der Aufgabe davor vorgehen muss. Ich denke mir mal schon da hier in Aufgabenteil das uneigentliche Riemann-Integrall auf Konvergenz untersucht werden soll. Hier ist das glaub ich die Singularität wegen den 0 als Grenze.

Auf jeden Fall habe ich als Grenzwert 0 herausbekommen. Nur weiss ich nicht ob das so korrekt ist.

Weiterhin habe ich Grenzen wie folgt eingesetzt, dass ich die Null mit 0+ für den Limes als Grenzwert von Rechts betrachtet habe, da ja die obere Grenze 1/2 ist.

Also:





Ist das denn soweit Richtig ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe

gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja folgendes:
ist die Stammfunktion von nicht der ?

Wenn nein warum ?
Gast006 Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir deinen Lösungsweg zeigen bitte ?
Ich weiss nicht was ich falsch mache.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Daß diese Regel nicht stimmen kann, siehst du an folgendem simplem Beispiel. Unbestritten ist



Ist nun auch

?

Wenn schon, dann müßte man die Substitutionsregel anwenden. In deinem Beispiel nimm die Zerlegung:

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