Mehrfachintegrale

10.06.2019, 13:00

SM!LE

Mehrfachintegrale

Guten Tag,

es geht um folgende Aufgabe:

a) Man skizziere und berechne den Integrationsbereich B und berechne das Integral:

$\begin{eqnarray*} \underset{B}{\iint}x^2y~dxdy~=~\int_0^1\int_y^{y^2+1}x^2y~dxdy \end{eqnarray*}$

b) Man berechne den Wert des obigen Integrals bei vertauschter Integrationsreihenfolge.

Mein Lösungsansatz:

a)

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\int_y^{y^2+1}x^2y~dxdy=\int_0^1\left[\frac{x^3y}{3}\right]_y^{y^2+1}=\int_0^1 \frac{y^7}3+y^5-\frac{y^4}3+y^3+\frac y3~dy=\left[\frac{y^8}{24}+\frac{y^6}6-\frac{y^5}{15}+\frac{y^4}4+\frac{y^2}6\right]_0^1=\frac{67}{120} \end{eqnarray*}$

b) hier habe ich einige Probleme und vermutlich ist mein Normalbereich schon falsch, weswegen ich dann auf das falsche Ergebnis komme.

$\begin{eqnarray*} B:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~:~0\leq x\leq 2~, ~x\leq y \leq \sqrt{x-1}\} \end{eqnarray*}$

Ich bin dankbar für jeden hilfreichen Tipp und wünsche euch noch einen angenehmen Pfingstmontag smile

Ps.: Ich weiß passt nicht zur Thematik: Mehrfachintegrale aber ich wollte deswegen keinen neuen Thread eröffnen.

Wenn ich das globale Minimum bzw. Maximum einer stetigen Funktion unter Nebenbedingung bestimmen soll kann ich da den Satz von Weierstraß benutzen und davon ausgehen, dass in diesem Fall die Punkte in dem die Funktion den kleinsten bzw. größten Funktionswert annimmt schon das globale Minimum bzw. Maximum ist ?

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

10.06.2019, 13:22

Leopold

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RE: Mehrfachintegrale

Zitat:

Original von SM!LE

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\int_y^{y^2+1}x^2y~dxdy=\int_0^1\left[\frac{x^3y}{3}\right]_y^{y^2+1}=\int_0^1 \frac{y^7}3+y^5-\frac{y^4}3+y^3+\frac y3~dy=\left[\frac{y^8}{24}+\frac{y^6}6-\frac{y^5}{15}+\frac{y^4}4+\frac{y^2}6\right]_0^1=\frac{67}{120} \end{eqnarray*}$

Bis auf die berüchtigte fehlende Klammer (EDIT: und ein fehlendes $\begin{align*} \dd y \end{align*}$ ) stimmt die Rechnung.

Zitat:

Original von SM!LE
vermutlich ist mein Normalbereich schon falsch, weswegen ich dann auf das falsche Ergebnis komme.
$\begin{eqnarray*} B:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~:~0\leq x\leq 2~, ~x\leq y \leq \sqrt{x-1}\} \end{eqnarray*}$

In der Tat stimmt dein $\begin{align*} B \end{align*}$ nicht. Schau die Zeichnung an. Du mußt eine Fallunterscheidung für $\begin{align*} x \end{align*}$ treffen:

$\begin{align*} B = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \ 0 \leq x \leq 1 \, , \ 0 \leq y \leq x \right. \right\} \cup \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left| \ 1 \leq x \leq 2 \, , \ \sqrt{x-1} \leq y \leq 1 \right. \right\} \end{align*}$

Bis auf eine Nullmenge sind die Vereinigungsglieder disjunkt. Nutze die Additivität des Integrals.

10.06.2019, 14:15

SM!LE

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RE: Mehrfachintegrale
Vielen Dank Leopold,

sorry für die fehlende Klammer. Als ich deinen Namen gelesen habe ist es mir direkt eingefallen, dass ich die wieder vergessen habe.
Das dy muss wohl beim eintippen verloren gegangen sein.

Der Normalbereich ist so auch viel logischer als meiner Hammer

Ich hab ja dann zwei Doppelintegrale durch die Vereinigungsmenge und berechne im 1. das Volumen was von der folgenden Fläche und der Funktion eingeschlossen ist:

und im 2. das Volumen was von der folgenden Fläche und der Funktion eingeschlossen ist oder?

Nur damit ich mir das visuell vorstellen kann.

Zitat:

Original von SM!LE

Wenn ich das globale Minimum bzw. Maximum einer stetigen Funktion unter Nebenbedingung bestimmen soll kann ich da den Satz von Weierstraß benutzen und davon ausgehen, dass in diesem Fall die Punkte in dem die Funktion den kleinsten bzw. größten Funktionswert annimmt schon das globale Minimum bzw. Maximum ist ?

Hast du dazu auch noch nen Tipp für mich ? Ist das so korrekt oder muss ich das anders machen?

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