Gleichmäßig Konvergent

10.06.2019, 16:39

KoenigVonAugsburg

Gleichmäßig Konvergent

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Untersuchen Sie auf Konvergenz: $\begin{align*} a_{n,m}:=\frac{n+m^2}{nm^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} b_{n,m}:=\frac{n^2 - m^2}{n^2 +m^2} \end{align*}$ (gleichmäßige Konvergenz ist ggf nachzuweisen). Die erste ist infach. Die zweite bestimmt auch, aber...
ich glaube mir ist der Begriff der Gleichmäßigen Konvergenz nicht ganz klar, bzw mir ist nicht klar wie beim Beweisen vorgehen soll.

Die zweite Gleichung kann man ja so umformen:
$\begin{align*} b_{n,m}:=\frac{n^2-m^2}{n^2+m^2} = \frac{n^2}{n^2+m^2} - \frac{m^2}{n^2+m^2} \end{align*}$ . Ich gehe davon aus, dass $\begin{align*} b_{n,m} \end{align*}$ konvergiert wenn beide Teile konvergieren. Nun muss ich aber bei beiden Teilen die gleichmäßige Konvergenz beweisen, also zeigen, dass der Grenzwert nicht von n,m abhängt. Nun weis ich nicht weiter. Also, wie muss ich bei gK Beweisen vorgehen?

Danke

10.06.2019, 17:15

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RE: Gleichmäßig Konvergent
Gleichmäßige Konvergenz einer Doppelfolge ist mir nicht geläufig. Ich vermute mal, es bedeutet kurz gesagt $\begin{eqnarray*} |a_{nm}-a|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\geq m_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Bei der ersten Folge hilft die Umformung $\begin{eqnarray*} a_{n,m}=\frac{1}{m^2} + \frac {1}{n^2} \end{eqnarray*}$ , um glm Konvergenz zu zeigen..
Bei der zweiten hilft ein Blick auf Spezialfälle, z.B. n=m oder n=2m, um Divergenz zu zeigen

11.06.2019, 03:12

KoenigVonAugsburg

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RE: Gleichmäßig Konvergent

Zitat:

Bei der zweiten hilft ein Blick auf Spezialfälle, z.B. n=m oder n=2m, um Divergenz zu zeigen

Aber mit n = m folgt doch, dass $\begin{align*} \frac{n^2-n^2}{n^2+n^2} = 0 \end{align*}$
und mit 2n = m: $\begin{align*} \frac{n^2-(2n)^2}{n^2+(2n)^2} = \frac{-(3n)^2}{(5n)^2} = -\frac{3}{5} \end{align*}$ Nun kommen zwei verschiedene Grenzwerte raus. Besagt das etwa, dass es divergiert, bzw nicht gleichmäßig konvergent ist?

Danke smile

11.06.2019, 08:38

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RE: Gleichmäßig Konvergent
Man hat zwei Teilfolgen von $\begin{eqnarray*} a_{n,m} \end{eqnarray*}$ gefunden, die gegen verschiedene Werte konvergieren. Damit folgt die Divergenz der Doppelfolge.
Für die erste Aufgabe müsstest du mal deine Definition der gleichmäßigen Konvergenz aufschreiben. Meine ergibt auf den zweiten Blick keinen Sinn Forum Kloppe

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