Irreduzibilität von Polynomen

11.06.2019, 08:53	Anna.	Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibilität von Polynomen Meine Frage: Hallo, ich bin mir noch nicht so ganz sicher, wie ich zeigen kann, dass ein Polynom reduzibel oder irreduzibel ist. Bei Polynomen zweiten oder dritten Grades: - Nullstellen bestimmen - wenn die Nullstellen im zugrunde liegenden Körper liegen, ist das Polynom reduzibel, wenn nicht irreduzibel Stimmt das so? Bei Polynomen vierten oder fünften Grades: - Polynomdivision Frage: bestimme ich hier auch einfach alle Nullstellen und schlussfolgere dann: Nullstellen im Körper -> reduzibel; Nullstellen nicht im Körper -> irreduzibel? In der Vorlesung haben wir manchmal noch mit dem Grad des Polynoms argumentiert? Aber wozu brauche ich den, also woher weiß ich dann ob ein Polynom irreduzibel oder reduzibel ist? Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte LG Anna Meine Ideen: -
11.06.2019, 11:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen eines reduziblen Polynoms müssen nicht im Körper liegen. Nimm als Beispiel die reduziblen reellen Polynome $\begin{eqnarray} x^3+x^2+x+1=(x+1)(x²+1) \end{eqnarray}$ mit den einfachen Nullstellen $\begin{eqnarray} -1,i,-i \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2 \end{eqnarray}$ mit den doppelten Nullstellen $\begin{eqnarray} i,-i \end{eqnarray}$ . Man weiß nur, dass ein Polynom reduzibel ist, wenn eine Nullstelle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im Körper liegt, denn dann ist $\begin{eqnarray} f(x)=(x-a)g(x) \end{eqnarray}$ . Weil das alles nicht so einfach ist, freut man sich über andere Kriterien (z.B. das Eisensteinkriterium für irreduzible Polynome). Reelle Polynome haben, weil sie komplexe Polynome sind, genau so viele komplexe Nullstellen wie ihr Grad angibt. Sie zerfallen in lineare und quadratische Faktoren, also haben reelle Polynome ungeraden Grades einen Linearfaktor, d.h. sie haben mindestens eine reelle Nullstelle.

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