Volumen einer Menge

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Volumen einer Menge
Meine Frage:
Hey,
ich bin mir nicht sicher, ob ich das Volumen der Menge richtig bestimmt habe.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist:
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte gestern Nacht schon antworten, aber da kam Gewitter auf.

Ich schreibe mal , weil weniger umständlich.

Mit deinem inneren Integral

berechnest du den Flächeninhalt von . Das Integral

ist dann das Volumen des Pyramidenviertels, das aus den Scheiben für zusammengesetzt ist. Die gesamte Pyramide müsste den Flächeninhalt

haben. Für eine Pyramide gilt die Formel

wobei die Grundfläche und die Höhe ist. Die Höhe ist hier und die Grundfläche , das ergibt
.

Man könnte das Pyramidenviertel auch als gescherte Pyramide betrachten. Nach dem Prinzip von Cavalieri lässt sich die Volumenformel gleich direkt anwenden, und man erhält mit und .

Bei der hier dargestellen Aufgabe liegt ein Rotationskörper vor. Bei diesem gilt
,
also für . Allgemein hat man eine Funtkion , welche den Radius in Abhängigkeit von angibt. Der Flächeninhalt davon ist jeweils . Demnach besitzt eine Scheibchen das Volumen

und daher gilt
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Menge
Um das vorstehende zusammenzufassen, mit:
Zitat:
Original von klicke
Mein Ansatz ist:

berechnest du nicht das Volumen der Menge M. Beispielsweise läßt du bei deinem Integral zu, daß für x_3 = a auch x_1 = x_2 = a sein kann. Das widerspricht aber der Vorgabe, daß sein muß.

Wie von Finn_ angedeutet, kannst du das Integral in Zylinderkoordinaten transformieren. Bei Zylinderkoordinaten ist das Volumenelement für das Integral .
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das Problem auch brachial angehen.

Sei , dann ist das Volumen

wobei mit .
Da nicht von abhängig ist, können wir diesen Faktor aus den ersten beiden Integralen herausziehen. Man erhält


Die Darstellung von als Funktion von :
.
Demnach gilt

Der Faktor ist nicht von abhängig, kann daher aus dem Integral bezüglich herausgezogen werden. Bezüglich ist dieser Faktor aber eins, da die Bedingung innerhalb der schon eingeschränkten Integralgrenzen immer erfüllt ist. Es ergibt sich



Das Kreisintegral will ich jetzt nicht herleiten, es gilt

Da die Grenzen und sind, ist . Damit gilt



Es ergibt sich
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