Anzahl von Urbildern

13.06.2019, 12:27	LenaLena	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Frage: Für die Funktionen $\begin{eqnarray} f: \begin{bmatrix}<br /> x\\<br /> y<br /> \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}<br /> x^3 - yx\\<br /> y<br /> \end{bmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g:\begin{bmatrix}<br /> x\\<br /> y<br /> \end{bmatrix} \mapsto<br /> \begin{bmatrix}<br /> x^2\\<br /> y^2<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ ist gesucht die Menge $\begin{eqnarray} <br /> U_n = \{(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2: \#f^{-1}((\xi, \eta)) = n \}\forall n \in \mathbb{N}_0<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab keine Ahnung was die Menge $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ überhaupt ist. Ich interpretiere es als die Menge für $\begin{eqnarray} \xi, \eta \end{eqnarray}$ damit die Urbilder exakt $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ . Für f keine Ahnung für g wäre dass dann $\begin{eqnarray} U_n = \{ (\psi,\eta) = (n^2, n^2) \in \mathbb{N}_0 \} \end{eqnarray}$
13.06.2019, 12:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} U_n \end{align}$ besteht aus allen Elementen des $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ , die unter $\begin{align} f \end{align}$ (beziehungsweise $\begin{align} g \end{align}$ ) genau $\begin{align} n \end{align}$ Urbilder haben. In $\begin{align} U_0 \end{align}$ wären also die Elemente, die gar kein Urbild besitzen, in $\begin{align} U_1 \end{align}$ diejenigen, die genau ein Urbild besitzen, in $\begin{align} U_2 \end{align}$ diejenigen, die genau zwei Urbilder besitzen. Und so weiter.
13.06.2019, 13:26	LenaLena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, danke für deinen Hinweis. Das war schon ziemlich hilfreich. Also wäre beispielsweise für g: $\begin{eqnarray} U_n = \{(0,n-1)\} \end{eqnarray}$ ? Denn beispielsweise für $\begin{eqnarray} <br /> n=1: U_1 = (0,0) \Rightarrow \{(0,0)\}<br /> n=2: U_2 = (0,1) \Rightarrow \{(0,-1), (0,1)\} \end{eqnarray}$ Für n=3 klappt es allerdings nicht mehr denn $\begin{eqnarray} <br /> n=3: U_3 =(0,2) \Rightarrow \{(0,-\sqrt{2}) \}, \{(0, \sqrt{2}) \}<br /> \end{eqnarray}$ Irgendwelche Einfälle wie das klappen kann???????
13.06.2019, 13:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein $\begin{eqnarray} U_1=\{(0,0)\} \end{eqnarray}$ ist richtig, aber bereits bei $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ hast du nur ein Paar genannt, welches drin liegt - du sollst aber $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ komplett angeben, d.h., alle Paare die darin liegen! Als ergänzender Hinweis: Bei $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ geht es nur um $\begin{eqnarray} U_0,U_1,U_2,U_4 \end{eqnarray}$ , alle anderen $\begin{eqnarray} U_n \end{eqnarray}$ sind leer. Die Aufgabe ist an sich trivial, wenn man erstmal verstanden hat, worum es eigentlich geht. Bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sind hingegen $\begin{eqnarray} U_1,U_3 \end{eqnarray}$ die beiden nichtleeren Mengen. Hierbei hilft eine Kurvendiskussion der Funktionenschar $\begin{eqnarray} h_y(x):= x^3-yx \end{eqnarray}$ (mit Parameter $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ). EDIT: Ups, stimmt nicht ganz: Auch $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ gibt es bei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , wenn auch "dünn" besetzt.
13.06.2019, 14:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei f habe ich einmal ein Bildchen gemalt. Ich hoffe, das stimmt so. Wie man darauf kommt, da hat HAL ja schon einen Hinweis gegeben. [attach]49363[/attach] EDIT Da haben HAL und ich wohl dasselbe gedacht.
13.06.2019, 18:28	LenaLena	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und VIELEN DANK Leopold und HAL für eure Hilfe =) Also ich habs nun so gelöst f U0 Da $\begin{eqnarray} f^{-1}(\cdot, \eta) = (\cdot, y) \forall \eta \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} U_0 = \{ \emptyset \} \end{eqnarray}$ U1 Für $\begin{eqnarray} \eta=0 \Rightarrow x = \xi^3 \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} U_1 = \{(\xi,\eta): \eta=0, \xi\in\mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ U2 Für $\begin{eqnarray} \xi = \sqrt{\xi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \eta \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} <br /> x = (\sqrt{\xi})^3 - \eta \sqrt{\xi}<br /> =\xi^{\frac{1}{2}}( \xi - \eta) \Rightarrow x=0 \Leftrightarrow \xi=\{0, \eta\}<br /> \end{eqnarray}$ Deswegen ist $\begin{eqnarray} U_2= \{(\xi, \eta): \xi=\sqrt{a}:a \in \mathbb{R}, \eta \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \} \end{eqnarray}$ U3 $\begin{eqnarray} <br /> x = \xi^3 - \eta \xi <br /> = \xi (\xi^2 - \eta)<br /> = \xi (\xi- \sqrt{\eta})(\xi+ \sqrt{\eta})<br /> \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \eta \in \mathbb{R}_+ \Rightarrow x=0 \Leftrightarrow \xi = \{ - \sqrt{\eta}, 0, \sqrt{\eta}\} \forall \xi \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Deswegen $\begin{eqnarray} <br /> U_3 = \{ (\xi, \eta) : \eta \in \mathbb{R}_+: \xi \in [- \sqrt{\eta}, \sqrt{\eta}] \}<br /> \end{eqnarray}$ Die Mengen $\begin{eqnarray} U_j = \{ \emptyset \} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j = 4,5,..., \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ g $\begin{eqnarray} <br /> U_0 = \{(\xi, \eta): (\xi, \eta) \in \mathbb{R}^-\}<br /> U_1 = \{(\xi, \eta): \xi=0, \eta=0\}<br /> U_2 = \{(\xi, \eta): \xi=0, \eta \in \mathbb{R} \lor \xi \in \mathbb{R}, \eta=0\}<br /> U_4 = \{(\xi, \eta) \in \mathbb{R}^2_+\}<br /> \end{eqnarray}$
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13.06.2019, 18:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider sehr, sehr viel falsch. Fangen wir mal mit $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ an und reparieren das: $\begin{eqnarray} U_0 = \{(\xi, \eta)\in\mathbb{R}^2: \xi\in \mathbb{R}^-\,\vee\, \eta\in \mathbb{R}^- \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1 = \{(\xi, \eta)\in\mathbb{R}^2: \xi=0, \eta=0\} \end{eqnarray}$ ist richtig. $\begin{eqnarray} U_2 = \{(\xi, \eta)\in\mathbb{R}^2: \left(\xi=0, \eta \in \mathbb{R}^+\right) \lor \left(\xi \in \mathbb{R}^+, \eta=0\right)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_4 = \{(\xi, \eta)\in \mathbb{R}^2_+\} \end{eqnarray}$ ist richtig. Insgesamt könnte man auch kurz schreiben: $\begin{eqnarray} U_0 = \left(\mathbb{R}^- \times \mathbb{R}\right)\cup \left(\mathbb{R}\times \mathbb{R}^- \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_1 = \{(0,0)\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_2 = \left(\{0\}\times \mathbb{R}^+\right)\cup \left(\mathbb{R}^+\times \{0\}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_4 = \mathbb{R}^{+2} \end{eqnarray}$

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