Warum lassen sich Naturvorgänge so brillant mit Mathematik beschreiben?

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Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »
Warum lassen sich Naturvorgänge so brillant mit Mathematik beschreiben?
Hallo Foristen,
Einige Wissenschaftler haben von jeher die Frage aufgeworfen, ob die Gesetze des Universums in der Sprache der Mathematik geschrieben sind und wir Menschen diese Mathematik nach und nach entdecken. Oder ist die Mathematik ein Konstrukt des menschlichen Geistes, mit dem sich glücklicherweise das Universum gut beschreiben und erfassen lässt? Warum passt die Mathematik so gut?

„Das Unbegreifliche an der mathematischen Naturerkenntnis ist die mathematische Begreiflichkeit der Natur“ schrieb Einstein.

„Freundlicherweise wird die Natur von allgemeingültigen Gesetzen und nicht von Feld-Wald-und-Wiesen-Regeln mit beschränkter Reichweite gelenkt“, sagt Astrophysiker Mario Livio.

Manche, wie der Physiker und Wissenschaftsphilosoph Max Tegmark vom Massachusetts Institute of Technology in Boston gehen sogar so weit zu behaupten, dass die Mathematik – ähnlich wie in einem Computerspiel – die gesamte Realität steuert. Für Tegmark besteht die physische Welt ausschließlich aus Mathematik.

Der britische Physiker und Mathematiker Stephen Wolfram, hält das hingegen für eine Illusion. „Die Mathematik kann nur deshalb vieles gut beschreiben, weil die entsprechenden Formeln und Modelle für genau diese Fragestellungen entwickelt und optimiert worden sind. Viele andere Dinge lassen sich hingegen gar nicht gut mit Mathematik abbilden.“

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk", meinte der Mathematiker Leopold Kronecker 1886

"Sogar die ganzen Zahlen sind Menschenwerk", postuliert Stanislas Dehaene

Wie lassen sich diese Positionen begründen?
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu fällt mir ein:
"Ein halbgebildeter Laie kann in einer halben Stunde mehr Fragen stellen, als alle Gelehrten der Welt in ihrem Leben beantworten können."

smile
 
 
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

vgl: dazu Kant:

Bisher nahm man an, alle unsere Erkenntnis müsse sich nach den Gegenständen richten; aber alle Versuche über sie a priori etwas durch Begriffe auszumachen, wodurch unsere Erkenntnis erweitert würde, gingen unter dieser Voraussetzung zunichte. Man versuche es daher einmal, ob wir nicht in den Aufgaben der Metaphysik damit besser fortkommen, dass wir annehmen, die Gegenstände müssen sich nach unserem Erkenntnis richten, welches so schon besser mit der verlangten Möglichkeit einer Erkenntnis derselben a priori zusammenstimmt, die über Gegenstände, ehe sie uns gegeben werden, etwas festsetzen soll.

http://www.brg-lienz.tsn.at/events/Archi...o/pup_kant2.htm
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Physikalische Naturgesetze kommen nicht in der Natur vor sondern sind Teil unseres mathematischen Denkens über das, was wir über die physikalische Natur denken. Psychologie, Philosophie, Mathematik und Physik sind Teil unseres Denkens. Die Psychologie als Teil unseres Denkens erklärt die erstaunliche Tatsache, dass ein Teil unseres Denkens (alte Philosophie) darüber staunt, dass Teile unseres Denkens (Mathematik und Physik) Übereinstimmungen aufweisen, als Schizophrenie unseres Denkens, das sich selbst in Teile aufspaltet.
(Die Formulierung beruht auf meinem Denken, auf Gesprächen mit einem jungen Philosophen, der mir erklärt hat, dass es bei diesem Thema nichts Erstaunliches mehr gibt, und vielleicht auch auf dem Buch "Wie die Naturgesetze Wirklichkeit schaffen" von Henning Genz.)
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

In der guten Zuschneidung der Mathematik auf die Physik sehe ich ein Trugbild.

Es ist so, dass die Mathematik ein allgemeiner Apparat zur Erforschung logisch konsistenter Strukturen ist, die durch ein mehr oder weniger kurzes Regelwerk gegeben sind oder bzw. daraus emergieren. Mathematische Theorien werden mit der Zeit so verallgemeinert, dass sie nicht nur eine spezielle Struktur beschreiben, sondern alle Strukturen einer Problemklasse. Z.B. vermarg die Gruppentheorie alle denkbaren Symmetrien zu kodieren, nicht nur ein paar spezielle, es sein denn man hat ein erweitertes Verständnis vom Begriff der Symmetrie.

Ebenso hantiert die Differentialgeometrie nicht nur mit ein paar speziellen gekrümmten Objekten, sondern mit allen möglichen, sofern diese hinreichend gutartig sind. Wenn sie nicht hinreichend gutartig sind, ergibt sich eine kompliziertere Theorie, wo die einfachen Sätze gegen allgemeinere kompliziertere Sätze ersetzt werden müssen.

Das gleiche gilt für die Funktionalanalysis. Diese beschreibt nicht nur eine spezielle Funktion, sondern alle möglichen, wieder unter der Prämisse, dass diese hinreichend gutartig sind. Hinreichend gutartige Funktionen werden dabei meist zu einem Funktionenraum zusammengefasst.

Betrachte z.B. die Mandelbrot-Menge. Diese ergibt sich aus einer Familie von diskreten dynamischen Systemen, welche rekursiv (bzw. als Iteration) gegeben sind. Man hat herausgefunden, dass sich dynamische Systeme, ob kontinuierlich oder diskret, u.a. mit Mitteln der Analysis untersuchen lassen, bei komplexen dynamischen Systemen -- das sind solche die als Iteration einer komplexen Funktion formuliert sind -- spielt zudem die Funktionentheorie eine Rolle. Daraus darf man aber nicht schließen, dass die Analysis genau auf die Mandelbrot-Menge zugeschnitten sei.

Kontinuierliche dynamische Systeme sind zudem oft mittels Differentialgleichungen beschrieben, das ist in gewisser Weise das kontinuierliche Analogon zur Rekursion. Man kann das auch wieder verallgemeinern. Die allgemeine Beschreibung von Funktionen geschieht durch Funktionalgleichungen, in denen auch Differential- und Integraloperatoren vorkommen können, z.B. Integralgleichungen oder retadierte Differentialgleichungen. Wenn das immer noch nicht ausreicht, kann man anfangen, stochastische Mittel zu benutzen.

Die Analysis stellt u.a. Werkzeuge zur Untersuchung der lokalen Eigenschaften kontinuierlicher Objekte einschließlich Abbildungen dar. Hat ein Objekt überhaupt hinreichend gutartige lokale Eigenschaften, egal wie diese auch immer geartet sind, sind diese von den Sätzen der Analysis überschattet. Man müsste alle kontinuierlichen Vorgänge aus der Physik streichen, um sich dem entziehen zu können. Und selbst wenn diese Vorgänge nicht mehr so gutartig sind, können sie immernoch unter die Fittiche der Funktionalanalysis fallen, welche viele verallgemeinerte Konzepte zur Untersuchung bereitstellt.

Die Physik ist nun »zufälligerweise« beschrieben durch ein mehr oder weniger kleines logisch konsistentes Regelwerk. Zumindest gilt das für das genauste physikalische Modell was wir zur Zeit haben. Auf makroskopischer Ebene ergeben sich daraus u.a. »zufälligerweise« kontinuierliche dynamische Systeme.

Da kann man nun die folgenden Ansätze machen:
  • Wenn es überhaupt Symmetrien im klassischen Sinn gibt, dann müssen sich diese durch irgendeine Symmetriegruppe beschreiben lassen.
  • Zu einem kontinuierlichen Vorgang müsste sich eine Differentialgleichung finden lassen. Wenn wir keine finden, suchen wir nach einer Integralgleichung. Nicht tief genug gegraben? Nimm eine größere Schaufel!
  • Warum sollte der Raum flach sein? Wo gibt es in der Natur schon perfekte Geraden oder Kreise? Warum sollten die Tangentialräume unbedingt euklidisch sein? Wir pumpen mit Differentialgeometrie den See solange ab, bis sich irgendwo eine Insel auftut.
  • Durch Constraints ergeben sich oft Untermannigfaltigkeiten. Wieder Differentialgeometrie drauf ansetzen.

Man könnte auch fragen, warum sich die Physik gerade mit dem Lagrangeformalismus beschreiben lässt. Das ist Variationsrechnung auf (Unter)Mannigfaltigkeiten. Vielleicht ist Variationsrechung einfach nur ein sehr fortgeschrittenes Werkzeug zur Optimierung kontinuierlicher Objekte.

Warum sich die Physik so gut durch Mathematik beschreiben lässt? Weil das System aus einem kleinen Regelwerk emergiert und sich dabei irgendwelche Strukturen ergeben. In der Mathematik haben die Menschen aber bereits für alle »einfacheren« Strukturen Theorien entwickelt. Die einfacheren physikalischen Strukturen müssten dann im betrachteten Aspekt auf irgendeine Art unter eine dieser Theorien fallen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum lassen sich Naturvorgänge so brillant mit Mathematik beschreiben?
Zitat:
Original von Tangens Alpha
"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk", meinte der Mathematiker Leopold Kronecker 1886

"Sogar die ganzen Zahlen sind Menschenwerk", postuliert Stanislas Dehaene

Wie lassen sich diese Positionen begründen?


Zweifellos hat Kronecker sich um die Mathematik und insbesondere um die Zahlentheorie verdient gemacht, die Grundlagen hat er aber nicht begriffen und insbesondere Cantors Mengenlehre massiv angegriffen. Er hat konstruktive Mathematik betrieben, und er hat sich zu einem Finitismus bekannt, den ich mit Hilbert für den falschen Ansatz halte. Als Finitist kann Kronecker die unendliche Menge der natürlichen Zahlen überhaupt nicht verstanden haben, warum er dann noch Gott ins Spiel bringt, bleibt sein Geheimnis.

Selbstverständlich sind die natürlichen Zahlen wie jede mathematische Struktur eine Erfindung der Menschen, genauer der Mathematiker. Sie sind bis auf Isomorphie durch die Dedekind-Peano-Axiome definiert, man kann mit ihnen zählen und rechnen. Man kann über den natürlichen Zahlen ganze, rationale, reelle, komplexe und andere Zahlbereiche aufbauen, und darauf bauen viele wichtige mathematische Theorien auf. Im Moment fällt mir keine mathematische Theorie ein, die ohne Zahlen auskommt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

War die Frage überhaupt ernst gemeint ? Ich bezweifle das jetzt, weil für die Erstellung der Frage wenig Aufwand getrieben wurde ( https://www.welt.de/wissenschaft/article...r-entdeckt.html ) und auch keine Nachfrage mehr kommt. Solche populärwissenschaftliche Artikel stellen eigentlich nur unsinnige Behauptungen auf und tragen wenig oder nichts zur Klärung der Fragen bei.
Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von willyengland
Dazu fällt mir ein: "Ein halbgebildeter Laie kann in einer halben Stunde mehr Fragen stellen, als alle Gelehrten der Welt in ihrem Leben beantworten können." smile

Nun, ich würde Einstein nicht unbedingt als halbgebildeten Laien bezeichnen!
Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von adiutor62
vgl: dazu Kant:
Bisher nahm man an, alle unsere Erkenntnis müsse sich nach den Gegenständen richten; aber alle Versuche über sie a priori etwas durch Begriffe auszumachen, wodurch unsere Erkenntnis erweitert würde, gingen unter dieser Voraussetzung zunichte. Man versuche es daher einmal, ob wir nicht in den Aufgaben der Metaphysik damit besser fortkommen, dass wir annehmen, die Gegenstände müssen sich nach unserem Erkenntnis richten, welches so schon besser mit der verlangten Möglichkeit einer Erkenntnis derselben a priori zusammenstimmt, die über Gegenstände, ehe sie uns gegeben werden, etwas festsetzen soll.

Bedeutet das, dass du Kant hierin folgst, die Natur "an sich" für unerkennbar hältst und wir nur den Erscheinungen eine Erkennbarkeit zuweisen und ihr die Gesetze "vorschreiben"?
Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum lassen sich Naturvorgänge so brillant mit Mathematik beschreiben?
Zitat:
Original von Elvis
Zweifellos hat Kronecker sich um die Mathematik und insbesondere um die Zahlentheorie verdient gemacht, die Grundlagen hat er aber nicht begriffen und insbesondere Cantors Mengenlehre massiv angegriffen. Er hat konstruktive Mathematik betrieben, und er hat sich zu einem Finitismus bekannt, den ich mit Hilbert für den falschen Ansatz halte. Als Finitist kann Kronecker die unendliche Menge der natürlichen Zahlen überhaupt nicht verstanden haben, warum er dann noch Gott ins Spiel bringt, bleibt sein Geheimnis.
Selbstverständlich sind die natürlichen Zahlen wie jede mathematische Struktur eine Erfindung der Menschen, genauer der Mathematiker. Sie sind bis auf Isomorphie durch die Dedekind-Peano-Axiome definiert, man kann mit ihnen zählen und rechnen. Man kann über den natürlichen Zahlen ganze, rationale, reelle, komplexe und andere Zahlbereiche aufbauen, und darauf bauen viele wichtige mathematische Theorien auf. Im Moment fällt mir keine mathematische Theorie ein, die ohne Zahlen auskommt.

Soll heißen, die Physiker erfinden ihre Gesetzmäßigkeiten, statt sie in der Natur zu entdecken?
Woraus leitest du das ab?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hast du die Antwort zitiert, in der ich mich nur auf Mathematikfragen bezogen habe. Mathematik wird und insbesondere Zahlen werden von Mathematiker/innen gemacht. Die natürlichen Zahlen kann man nicht entdecken, da es sie außerhalb unseres Denkens nicht gibt, man kann sie nur definieren und benutzen.

Zur Physik:
In der Natur stehen keine Erhaltungssätze. Impuls-, Drehimpuls- und Energieerhaltung folgen aus dem Noethertheorem genau so wie alle anderen Erhaltungssätze. Das Paulische Ausschließungsprinzip oder die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation stehen nicht in der Natur und können dort auch nicht entdeckt werden. Diese Postulate stammen original von Pauli und Heisenberg.
Vermutungen und Aussagen über die Natur, wenn sie sich bewährt haben, nennt man Naturgesetze. Das sind keine Gesetze im Sinne von Normen sondern im Sinne von mathematischen Gleichungssystemen und Relationen. Physiker lesen nicht in der Natur und sie schreiben der Natur nichts vor, sie beschreiben nur, was in der Natur passiert.
Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Finn_
In der guten Zuschneidung der Mathematik auf die Physik sehe ich ein Trugbild.
Warum sich die Physik so gut durch Mathematik beschreiben lässt? Weil das System aus einem kleinen Regelwerk emergiert und sich dabei irgendwelche Strukturen ergeben. In der Mathematik haben die Menschen aber bereits für alle »einfacheren« Strukturen Theorien entwickelt. Die einfacheren physikalischen Strukturen müssten dann im betrachteten Aspekt auf irgendeine Art unter eine dieser Theorien fallen.

Informative Antwort! Freude
Also die Physiker bedienen sich aus dem Mathe Pool und probieren mehr oder weniger nach trial & error ob's passt?
Welchen Bezug haben dMn zB Nichtobservablen oder Schrödingers Psi-Superposition mit abschließendem Kollaps zur Natur?
Tangens Alpha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
War die Frage überhaupt ernst gemeint ? Ich bezweifle das jetzt, weil für die Erstellung der Frage wenig Aufwand getrieben wurde und auch keine Nachfrage mehr kommt. Solche populärwissenschaftliche Artikel stellen eigentlich nur unsinnige Behauptungen auf und tragen wenig oder nichts zur Klärung der Fragen bei.

Sorry, war durch unvorhergesehene Aufgaben beansprucht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schrödingers Wellenfunktionen sind mathematische Konstruktionen in mathematischen Strukturen (Hilberträume). Kollaps der Wellenfunktion ist eine Sprechweise, um die postulierten Wellenfunktionen und Messungen (Operatoren) im Rahmen einer Interpretation mit Messergebnissen (Natur) zu verbinden. Alle Strukturen, Objekte und Zahlen sind mathematische Gedanken, mit denen man über die physikalischen Gedanken zur Natur nachdenken kann.
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