Inverses Element mit Satz von Euler

14.06.2019, 06:07

HansimGlück

Inverses Element mit Satz von Euler

Hallo,

folgende Frage beschäftigt mich gerade und ich komm nich weiter:

Zitat:

Erklären Sie mit dem Satz von Euler: Wenn a aus $\begin{eqnarray*} Z^*_{18} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} a^5 \end{eqnarray*}$ stets das inverse Element zu a.

Der Satz von Euler besagt $\begin{eqnarray*} a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m \end{eqnarray*}$ wenn a,m teilerfremd sind.

Ich sehe den Zusammenhang nicht zur Fragestellung.

14.06.2019, 07:09

HAL 9000

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Daraus folgt auch $\begin{eqnarray*} a^{\varphi(m)-1}\equiv a^{-1}\bmod m \end{eqnarray*}$ .

Im anderen Thread hattest du es berechnet: Wie groß ist gleich nochmal $\begin{eqnarray*} \varphi(18) \end{eqnarray*}$ ?

14.06.2019, 07:25

HansimGlück

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Zitat:

Original von HAL 9000
Daraus folgt auch $\begin{eqnarray*} a^{\varphi(m)-1}\equiv a^{-1}\bmod m \end{eqnarray*}$ .

Weshalb folgt dies? Du hast auf beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ ergänzt?
Warum ist das möglich und muss der modulo dann nicht ich ergänzt werden?

Zitat:

Original von HAL 9000
Wie groß ist gleich nochmal $\begin{eqnarray*} \varphi(18) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \varphi(18)=6 \end{eqnarray*}$

14.06.2019, 07:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von HansimGlück
Weshalb folgt dies?

Ist das denn nicht offensichtlich? Kongruenz $\begin{eqnarray*} a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m \end{eqnarray*}$ wird einfach mit $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

14.06.2019, 07:34

HansimGlück

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Doch, soweit schon.
Nur frage ich mich, ob das das Multiplizieren auf beiden Seiten keine Auswirkung auf das m hat?

14.06.2019, 07:36

HAL 9000

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Hallo? Kennst du denn überhaupt nicht die grundlegenden Rechenregeln der Modulorechnung? geschockt

14.06.2019, 07:50

HansimGlück

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Offensichtlich nicht Hammer

bzw. hab ich hier wohl etwas mit der Kürzungsregel durcheinander gebracht.

a^(-1) soll das Inverse zu a sein, ja?

14.06.2019, 07:56

HAL 9000

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Ja.

Vielleicht ist dir auch bei folgender Erklärung wohler: Sei $\begin{eqnarray*} x=a^{\varphi(m)-1} \end{eqnarray*}$ . Dann ergibt die Rechnung

$\begin{eqnarray*} x\cdot a = a^{\varphi(m)-1}\cdot a = a^{\varphi(m)}\equiv 1\bmod m \end{eqnarray*}$ ,

damit muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sein.

14.06.2019, 08:21

HansimGlück

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$\begin{eqnarray*} x=a^{\varphi(m)-1}=a^5 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} Z^*_{18} \end{eqnarray*}$ - passt.

Ist $\begin{eqnarray*} a^{\varphi(m)-1} \end{eqnarray*}$ somit stets das Inverse von a, wenn a aus dem primitiven Restsystem stammt? Könntest du mir den Beweis hierfür verlinken, damit ich das besser nachvollziehen kann?

Danke!

14.06.2019, 10:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von HansimGlück
Könntest du mir den Beweis hierfür verlinken, damit ich das besser nachvollziehen kann?

Aber gern: Beweis für diese Darstellung der Inversen Big Laugh

14.06.2019, 20:55

HansimGlück

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