Divergenz und Rotation

14.06.2019, 17:08

Kai1998

Divergenz und Rotation

Meine Frage:
Hey Community,
Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Das von einer stationären elektrischen Strömungsdichte $\begin{eqnarray*} :\vec{j}:\mathbb R^{3}->\mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ erzeugte Magnetfeld
$\begin{eqnarray*} \vec{B} \end{eqnarray*}$ ist eindeutig festgelegt durch die beiden Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} div \vec{B}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} rot\vec{B}=\frac{4pi}{c} *\vec{j} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \vec{B} \end{eqnarray*}$ verschwindet im Unendlichen. Hierbei bezeichnet c die Lichtgeschwindigkeit und für die magnetische Permeabilität wurde µ = 1 verwendet.

Es sei die stationäre elektrische Strömungsdichte:
$\begin{eqnarray*} \vec{j}(x,y,z)=\frac{c}{4pi}*f(z)*\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R->\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben. Weiter sei das Vektorfeld:
$\begin{eqnarray*} \vec{A}(x,y,z)=g(z)*\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit einer zweimal differenzierbaren Funktion g : R --> R gegeben. Bestimme g durch Rechnung in Zylinderkoordinaten so, dass $\begin{eqnarray*} \vec{B} := rot \vec{A} \end{eqnarray*}$ das durch $\begin{eqnarray*} \vec{j} \end{eqnarray*}$ induzierte Magnetfeld ist.

Meine Ideen:
Als erstes habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Kugelkoordinaten umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \vec{j}(r,phi,deta)=\frac{c}{4pi}*f(z)*\begin{pmatrix} -sin(phi) \\ cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -sin(phi) \\ cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist aber gleichzeitig auch der orthonomierte Basisvektor $\begin{eqnarray*} \vec{e}_{phi} \end{eqnarray*}$ .
Für A heist das also $\begin{eqnarray*} \vec{A}=g(z)*\vec{e}_{phi} \end{eqnarray*}$ .
Nun habe ich versucht die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
dafür habe ich folgendes betrachtet:
$\begin{eqnarray*} \vec{A}=A_{r}\vec{e}_{r}+A_{phi}\vec{e}_{phi}+A_{z}\vec{e}_{z} \end{eqnarray*}$ .
Somit kann ich schlussfolgern, dass $\begin{eqnarray*} A_{r}\vec{e}_{r}=A_{z}\vec{e}_{z}=0 ist \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{phi}\vec{e}_{phi}=g(z) ist \end{eqnarray*}$ .
In der langen Rotationsformel habe ich dann die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ berechnet. Ich weist nicht was mir genau die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec{A} \end{eqnarray*}$ bringt darum bitte ich um Hilfe^^
In der Formel:
$\begin{eqnarray*} rot\vec{B}=\frac{4pi}{c} *\vec{j} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{j} \end{eqnarray*}$ enthalten Ich habe überlegt das $\begin{eqnarray*} \vec{j} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{j}(x,y,z)=\frac{c}{4pi}*f(z)*\begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dort einzusetzen. Es würden sich das 4pi und das c wegkürzen und $\begin{eqnarray*} rot\vec{B}=f(z) \end{eqnarray*}$ würde am Ende herauskommen.Leider weist ich auch mit dieser Angabe nicht weiter.

Ich Bedanke mich schonmal für Eure Unterstützung ^^

14.06.2019, 23:29

Scotty1701D

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RE: Divergenz und Rotation

Zitat:

Original von Kai1998

Meine Ideen:
Als erstes habe ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Kugelkoordinaten umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \vec{j}(r,phi,deta)=\frac{c}{4pi}*f(z)*\begin{pmatrix} -sin(phi) \\ cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -sin(phi) \\ cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist aber gleichzeitig auch der orthonomierte Basisvektor $\begin{eqnarray*} \vec{e}_{phi} \end{eqnarray*}$ .

Es ist aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(phi) \\ r\cdot \cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Zylinder(!)koordinaten ist die Strömungdichte daher
$\begin{eqnarray*} \vec{j}(r,\phi,z)=\frac{c}{4\pi}\cdot r\cdot f(z)\cdot\vec{e}_{\phi} \end{eqnarray*}$

LG
Andreas

15.06.2019, 08:27

Kai1998

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RE: Divergenz und Rotation
Hey Scotty1701D^^,
ich meinte natürlich Zylinder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -r* \sin(phi) \\ r*\cos(phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nicht Kugelkoordinaten hab mich ausversehen verschrieben und du hast recht ich habe das r vergessen^^

15.06.2019, 08:34

Kai1998

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RE: Divergenz und Rotation
Was bringt mir aber diese Angabe ich weist nicht wie ich fortfahren soll.

Schonmal vielen Dank im Voraus^^

15.06.2019, 10:35

Scotty1701D

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RE: Divergenz und Rotation
Natürlich ist dann auch
$\begin{eqnarray*} \vec{A}(r,\phi,z)=r\cdot g(z)\cdot\vec{e}_{\phi} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \vec{B}=\operatorname{rot}\vec{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{rot}\vec{B}=\frac{4\pi}{c}\cdot\vec{j} \end{eqnarray*}$ bestimmst, dann siehst du, wie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aussehen muss.

LG
Andreas

15.06.2019, 15:17

Kai1998

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RE: Divergenz und Rotation
Danke für deine Hilfe Scotty1701D,

Ich habe jetzt die rot von A sowie von B ausgerechnet, aber sehe immer noch nicht g(z).

15.06.2019, 16:19

Huggy

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RE: Divergenz und Rotation
Viele Wege führen nach Rom. Da ich zu faul bin, deine handschriftlichen Rechnungen durchzulesen, ein eigener Vorschlag von mir. Aus den Angaben der Aufgabe folgt:

$\begin{eqnarray*} \nabla \times ( \nabla \times \vec A)= \frac {4 \pi} c \vec j \end{eqnarray*}$

Nun gilt für beliebige Vektorfelder $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla \times ( \nabla \times \vec F)= \nabla (\nabla \cdot \vec F) - \Delta \vec F \end{eqnarray*}$

Aus dem gegeben Ansatz für $\begin{eqnarray*} \vec A \end{eqnarray*}$ ergibt sich in Zylinderkoordinaten sofort:

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \vec A=0 \end{eqnarray*}$

Es verbleibt also

$\begin{eqnarray*} - \Delta A = \frac {4 \pi} c \vec j \end{eqnarray*}$

Das würde ich in kartesischen Koordinaten betrachten. Nur die Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ geben einen nicht verschwindenden Beitrag. So hat man z. B.

$\begin{eqnarray*} \Delta A_x = -y g''(z) \end{eqnarray*}$

Man kommt so zu einer Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ in Form einer Differentialgleichung.

15.06.2019, 21:21

Scotty1701D

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RE: Divergenz und Rotation

Wie ich schon oben geschrieben habe, ist
$\begin{eqnarray*} \vec{j}(r,\phi,z)=\frac{c}{4\pi}\cdot r\cdot f(z)\cdot\vec{e}_{\phi} \end{eqnarray*}$ , da fehlt dir schon wieder das r.
Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} \operatorname{rot}\vec{A} \end{eqnarray*}$ hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Das ist dann $\begin{eqnarray*} \vec{B} \end{eqnarray*}$ und du musst dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{rot}\vec{B} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Da steckt dann dein $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ drin.
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g(z)}{\partial z} \end{eqnarray*}$ ist einfach $\begin{eqnarray*} g'(z) \end{eqnarray*}$ .
Durch Koeffizientenvergleich bekommst du dann einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe jetzt klappt's Wink

LG
Andreas

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