Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten

15.06.2019, 14:12

MF5753

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Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten

Meine Frage:
Gegeben ist ein Dreieck mit den Katheten a=8cm und b=6cm. Wie groß muss der Winkel Alpha sein, damit der Flächeninhalt maximal wird?

Meine Ideen:
Ich bin weder mit dem Satz des Heron noch mit dem Kosinussatz als Ansatz weiter gekommen. Auch mit der Zerlegung des Dreieckes in zwei rechtwinklige Dreiecke bin ich kein Stück weiter gekommen

15.06.2019, 14:39

riwe

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}a\cdot b \cdot sin\gamma \end{eqnarray*}$
sollte deine Frage ohne weitere Rechnung beantworten

15.06.2019, 15:02

MF5753

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
Ich sehe in dieser Gleichung aber keinen Ansatz. Gesucht ist der Winkel Alpha, also der Kathete a gegenüber liegenden Winkel. Wie soll denn der Ansatz für die Nebenbedingung lauten? Komme hier auch nicht mit dem Sinussatz weiter. Wo liegt mein Denkfehler?

15.06.2019, 15:41

HAL 9000

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Sprachregelung
@MF5753

Spricht man von "Katheten", dann handelt es sich bereits um ein rechtwinkliges Dreieck. Meint man hingegen (zunächst) nur ein normales Dreieck, dann sollte man stattdessen den Begriff "Seiten" verwenden.

P.S.: Es kommt zwar letzten Endes ein rechtwinkliges Dreieck heraus (siehe Beitrag riwe), aber das sollte man ja nicht schon vorwegnehmen...

15.06.2019, 15:56

willyengland

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Aber das kann ja irgendwie nicht die Aufgabe sein, denn wenn a, b und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ festliegen, dann gibt es doch gar keine Variationsmöglichkeit.

15.06.2019, 16:32

MF5753

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Gamma ist nicht bekannt. Es ist eine Aufgabe der Analysis, Extremwerte mit Nebenbedingungen. Wenn es ein rechtwinkliges Dreieck ais Ergebnis wäre, dann müsste mit Hilfe der Differentialrechnung der Beweis geführt werden, das Alpha 53,13 Grad ist. Aber wie?

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15.06.2019, 16:45

Huggy

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Zitat:

Original von MF5753
Gamma ist nicht bekannt.

Aber aus der Formel von riwe kannst du bestimmen, bei welchem Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ die Fläche maximal wird. Das ergibt sich aus der Formel auch ohne Rechnung, du kannst aber auch gern nach $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ableiten und die Ableitung Null setzen. Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} \gamma = 90° \end{eqnarray*}$ , also ein rechtwinkliges Dreieck.

Zitat:

Wenn es ein rechtwinkliges Dreieck ais Ergebnis wäre, dann müsste mit Hilfe der Differentialrechnung der Beweis geführt werden, das Alpha 53,13 Grad ist. Aber wie?

Im rechtwinkligen Dreieck gilt doch

$\begin{eqnarray*} \tan \alpha = \frac a b \end{eqnarray*}$

Da braucht man keine Differentialrechnung.

15.06.2019, 16:48

andyrue

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
vermutlich liegt seites des threaderstellers ein irrtum vor. sind beide katheten in einem (rechtwinkligen, sonst dürfte der begriff kathete nicht verwendet werden) dreieck gegeben, stehen die fläche und die beiden anderen winkel schon fest.

insofern ist die frage obsolet

möglicherweise geht es nur um die seiten a und b (die keine katheten sind), dann wären weitere berechnungen zielführend.

andy

15.06.2019, 16:50

Huggy

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
Vermutlich steht in der Originalaufgabe Seiten und nicht Katheten.

15.06.2019, 16:54

MF5753

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Einfacher als ich dachte. Danke!

15.06.2019, 17:21

andyrue

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
nehmen wir an, es sind nur beliebige seiten und keine katheten, so könnte die fläche

mit $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot c\cdot h_{c} \end{eqnarray*}$ berechnet werden ..

.. und wenn man jetzt mit trigonometrischen funktionen und phytagoras noch gleichungen für $\begin{eqnarray*} h_{c} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_{2} \end{eqnarray*}$ aufstellt, käme man eine flächenformel

$\begin{eqnarray*} A= \frac{1}{2} \cdot \left(6\cdot \cos(\alpha )+\sqrt{64-36(\sin(\alpha ) )^{2} }\right) \cdot 6\sin(\alpha ) \end{eqnarray*}$

andy

15.06.2019, 17:31

Huggy

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
Könnte man, falls man nach dem Motto "Weshalb einfach, wenn es auch kompliziert geht" handelt. Was gefällt dir denn an der einfachen Lösung von riwe nicht?

15.06.2019, 17:59

MF5753

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten
Vielen Dank

15.06.2019, 18:39

riwe

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten

Zitat:

Original von MF5753
Ich sehe in dieser Gleichung aber keinen Ansatz. Gesucht ist der Winkel Alpha, also der Kathete a gegenüber liegenden Winkel. Wie soll denn der Ansatz für die Nebenbedingung lauten? Komme hier auch nicht mit dem Sinussatz weiter. Wo liegt mein Denkfehler?

naja, offensichtlich hat das rechtwinkelige 3eck maximale Fläche, wie aus der obigen Formel folgt,
und mit den gegebenen Seiten a und b kennt man dann auch den gesuchten Winkel Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2019, 20:13

klauss

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RE: Maximale Fläche eines Dreieckes bei gegebenen Katheten

Zitat:

Original von MF5753
Auch mit der Zerlegung des Dreieckes in zwei rechtwinklige Dreiecke bin ich kein Stück weiter gekommen

Das ist mir unbegreiflich. Ich habe dazu einen wunderschönen Beweis gefunden, der es verdient, nicht an den Rand gedrängt zu werden:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{h}{2}(p+q) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=\sqrt{36-h^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q=\sqrt{64-h^{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A(h)=\frac{h}{2}\left[\sqrt{36-h^{2} }+\sqrt{64-h^{2} } \right] =\sqrt{9h^{2} -\frac{1}{4}h^{4} }+\sqrt{16h^{2}-\frac{1}{4}h^{4} } <br /> \end{eqnarray*}$
Extremwertberechnung:
$\begin{eqnarray*} A'(h)=\frac{18h-h^{3} }{2\sqrt{9h^{2}-\frac{1}{4}h^{4} } } +\frac{32h-h^{3} }{2\sqrt{16h^{2}-\frac{1}{4}h^{4} } } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A'(h)=0 \Rightarrow (18-h^{2})\sqrt{16-\frac{1}{4}h^{2} }+(32-h^{2})\sqrt{9-\frac{1}{4} h^{2} } =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(18-h^{2} \right)^{2}\left(16-\frac{1}{4}h^{2} \right)- \left(32-h^{2} \right)^{2}\left(9-\frac{1}{4}h^{2} \right)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5184-81h^{2}-576h^{2}+9h^{4}+16h^{4}-\frac{1}{4}h^{6} -\left(9216-256h^{2}-576h^{2}+16h^{4}+9h^{4}-\frac{1}{4}h^{6} \right) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 175h^{2}=4032 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=4,8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = arccos\left(\frac{4,8}{6} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta = arccos\left(\frac{4,8}{8} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha=36,86989765° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta=53,13010235° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = 90° \end{eqnarray*}$

15.06.2019, 20:43

HAL 9000

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Ich denke mal, viele (u.a. Werner, Huggy und auch ich) reiben sich erstaunt die Augen, wie kompliziert man diese doch recht einfache Aufgabe handhaben kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.06.2019, 20:54

Leopold

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Ein Bild sagt mehr als tausend Worte.

[attach]49370[/attach]

15.06.2019, 21:37

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Ein Bild sagt mehr als tausend Worte.

[attach]49370[/attach]

Gott

16.06.2019, 14:36

Leopold

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Dabei habe ich nur deine Formel gezeichnet:

$\begin{align*} A = \frac{1}{2} a \cdot \underbrace{b \cdot \sin \gamma}_{h_a(\gamma)} \end{align*}$

16.06.2019, 16:25

riwe

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Zitat:

Original von Leopold
Dabei habe ich nur deine Formel gezeichnet:

$\begin{align*} A = \frac{1}{2} a \cdot \underbrace{b \cdot \sin \gamma}_{h_a(\gamma)} \end{align*}$

wenn ich frech bin: den meisten von uns ist das bewußt smile

smile

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