Beispiel Produkt Algebra

15.06.2019, 14:52

Stutz

Beispiel Produkt Algebra

Meine Frage:
Meine Frage ist, wie man die Produkt-Algebra erstellt.

Meine Ideen:
Diese Produkt-Algebra ist keine Sigma-Algebra, sie ist ein Halbring.

Ich habe mir die Einträge angesehen, aber klar wird mir es nicht.
Produkt-Sigma-Algebra
konkretes Beispiel zu Produkt sigma Algebra

Produkt-Sigma-Algebra
Produkt-Sigma-Algebra

Die von mir gewählte Angabe ist

$\begin{eqnarray*} \Omega_{1}=\{a,b\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1=\{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{a,b\}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Omega_{2}=\{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{2}=\{\emptyset, \{1\}, \{2\},\{1,2\}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Omega_{1} \times \Omega_{2} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} &a &b \\ 1 & 1\times a & 1\times b \\ 2 & 2\times a & 2\times b \\ \end{matrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Omega_{1} \times \Omega_{2} =\{\{(1,a)\},\{(1,b)\},\{(2,a)\},\{(2,b)\}\} \end{eqnarray*}$

Produkt-Algebra

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{1}\times\mathcal{A}_{2}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} &\emptyset &a &b &\{a,b\}\\ \emptyset & \emptyset\times \emptyset &\emptyset\times a & \emptyset\times b & \emptyset\times \{a,b\}\\ 1 & 1\times \emptyset & 1\times a & 1\times b & 1\times \{a,b\}\\ 2 & 2\times \emptyset & 1\times a & 2\times b & 2\times \{a,b\}\\ \{1,2\} & \{1,2\}\times \emptyset & \{1,2\}\times a & \{1,2\}\times b & \{1,2\}\times \{a,b\}\\ \end{matrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2} = \{ \emptyset, \{(1,a)\}, \{(1,b)\}, \{(1,\{a,b\})\}, \{(2,a)\}, \{(2,b)\}, \{(2,\{a,b\})\}, \{(\{1,2\},a)\}, \{(\{1,2\},b)\}, \{(\{1,2\},\{a,b\})\} \} \end{eqnarray*}$

Ist dies Richtig?
Als Halbring sollte es Schnitte drinn liegen?
$\begin{eqnarray*} (1,\{a,b\})\cap(1,\{a,b\})= \emptyset\times a =\emptyset \end{eqnarray*}$
Richtig verstanden?

15.06.2019, 15:49

HAL 9000

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Momentan ist dein Beitrag etwas schwierig zu lesen. Das liegt wohl daran, dass dir nicht bewusst war, dass man in LaTeX geschweifte Klammern {} mit \{ bzw. \} schreiben muss. Wäre also ganz gut, wenn du deinen Beitrag dahingehend editierst, bevor wir drüber reden.

17.06.2019, 10:20

Stutz

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Die geschweiften Klammern sind gesetzt.
Es ist Mühsam bei der Menge den Überblick zu bewahren.

17.06.2019, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stutz
$\begin{eqnarray*} \Omega_{1} \times \Omega_{2} =\{\{(1,a)\},\{(1,b)\},\{(2,a)\},\{(2,b)\}\} \end{eqnarray*}$

Hier hast du es mit den {} etwas übertrieben, außerdem stimmt die Reihenfolge nicht. Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \Omega_1\times\Omega_2 =\{(a,1),(b,1),(a,2),(b,2)\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \Omega_2\times\Omega_1 =\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \end{eqnarray*}$ .

Was die Produkte betrifft, so scheint mir ein Missverständnis vorzuliegen: $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\times \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ ist schlicht das kartesische Produkt der beiden Mengen $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ heraus , da kommt rein formal

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\times \mathcal{A}_2 = \left\{ (\emptyset,\emptyset), (\emptyset,\{1\}), (\emptyset,\{2\}), (\emptyset,\{1,2\}),(\{a\},\emptyset), (\{a\},\{1\}), (\{a\},\{2\}), (\{a\},\{1,2\}), (\{b\},\emptyset), (\{b\},\{1\}), (\{b\},\{2\}), (\{b\},\{1,2\}), (\{a,b\},\emptyset), (\{a,b\},\{1\}), (\{a,b\},\{2\}), (\{a,b\},\{1,2\})\right\} \end{eqnarray*}$

heraus. Unter der Produkt-Algebra würde ich aber $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\otimes \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ verstehen (aber vielleicht deute ich den Begriff auch falsch, ich kenne ja eigentlich nur Produkt-Sigmaalgebra), das ist die von allen Mengen $\begin{eqnarray*} A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_1\in\mathcal{A}_1,A_2\in\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ erzeugte Algebra!!! Schreiben wir zunächst mal diesen Erzeuger auf:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E} = \left\{ A_1\times A_2 \mid A_1\in\mathcal{A}_1,A_2\in\mathcal{A}_2 \right\} = \left\{ \emptyset, \{(a,1)\}, \{(a,2)\},\{(a,1),(a,2)\},\{(b,1)\},\{(b,2)\},\{(b,1),(b,2)\}, \{(a,1),(b,1)\},\{(a,2),(b,2)\},\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}\right\} \end{eqnarray*}$

Zählen wir mal durch, das sind 10 Elemente. Die davon erzeugte Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\otimes \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ enthält nun zusätzlich aber noch beliebige Durchschnitte/Vereinigungen/Differenzen, das sind insgesamt 16 Elemente, hinzu kommen also $\begin{eqnarray*} \{(a,1),(b,2)\}, \{(a,2),(b,1)\} \end{eqnarray*}$ und sämtliche Dreiermengen $\begin{eqnarray*} \{(a,1),(a,2),(b,1)\}, \{(a,1),(a,2),(b,2)\}, \{(a,1),(b,1),(b,2)\}, \{(a,2),(b,1),(b,2)\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, der Nebel lichtet sich jetzt etwas. Augenzwinkern

17.06.2019, 20:33

Stutz

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Stutz
$\begin{eqnarray*} \Omega_{1} \times \Omega_{2} =\{\{(1,a)\},\{(1,b)\},\{(2,a)\},\{(2,b)\}\} \end{eqnarray*}$

Danke HAL 9000! Der erste Abschnitt meiner Reise wäre geklärt. Für den anderen erstelle ich einen neuen Thread.

Ich habe das kartesische Produkt richtig zusammengebracht. (Bis auf den Dreher mit der Reihenfolge. Im Test hätte ich vermutlich Null Punkte dafür bekommen.)
laut Wiki ist $\begin{eqnarray*} \emptyset \times A = \emptyset \end{eqnarray*}$ ,
Kartesisches_Produkt#Leere_Menge
deswegen habe ich diese Mengen schon weggelassen.

Warum ich dieses wissen wollte, erkläre ich nun. Diesen Auszug dem Skriptum, aus dem ich lerne, bringe ich, weil eine Stelle im Beweis meine Aufmerksamkeit gewonnen hat.

Zitat:

Skripum S117 Hilfsatz 19.1.
Sei A $\begin{eqnarray*} \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \mu_2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich, so ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} x_1 \mapsto \mu_2(A_{x_{1}}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{1} \end{eqnarray*}$ -messbar. Analog gilt: Ist $\begin{eqnarray*} \mu_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlich, so ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} x_2 \mapsto \mu_1(A_{x_{2}}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{2} \end{eqnarray*}$ -messbar.

Beweis.
Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{f}_{A}(x_{1}:=\mu_{2}(A_{x_{1}}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1 \in \Omega_1 \end{eqnarray*}$ . Sei vorerst $\begin{eqnarray*} \mu_2 \end{eqnarray*}$ endlich. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \mathcal{D}:= \{D\in \mathcal{A}: f_{D}\in \overline{\mathcal{M}}(\Omega_1,\mathcal{A}_1)\} \end{eqnarray*}$
ein Dynkin-System und

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E}:=\{A_1 \times A_2: A_i \in \mathcal{A}_i\} \end{eqnarray*}$
ein durchschnittsstabiler Erzeuer von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ . [...]

Zitat:

Original von HAL 9000
Unter der Produkt-Algebra würde ich aber $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\otimes \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ verstehen (aber vielleicht deute ich den Begriff auch falsch, ich kenne ja eigentlich nur Produkt-Sigmaalgebra), das ist die von allen Mengen $\begin{eqnarray*} A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_1\in\mathcal{A}_1,A_2\in\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ erzeugte Algebra!!! Schreiben wir zunächst mal diesen Erzeuger auf:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{E} = \left\{ A_1\times A_2 \mid A_1\in\mathcal{A}_1,A_2\in\mathcal{A}_2 \right\} = \left\{ \emptyset, \{(a,1)\}, \{(a,2)\},\{(a,1),(a,2)\},\{(b,1)\},\{(b,2)\},\{(b,1),(b,2)\}, \{(a,1),(b,1)\},\{(a,2),(b,2)\},\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}\right\} \end{eqnarray*}$

Zählen wir mal durch, das sind 10 Elemente. Die davon erzeugte Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\otimes \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ enthält nun zusätzlich aber noch beliebige Durchschnitte/Vereinigungen/Differenzen, das sind insgesamt 16 Elemente, hinzu kommen also $\begin{eqnarray*} \{(a,1),(b,2)\}, \{(a,2),(b,1)\} \end{eqnarray*}$ und sämtliche Dreiermengen $\begin{eqnarray*} \{(a,1),(a,2),(b,1)\}, \{(a,1),(a,2),(b,2)\}, \{(a,1),(b,1),(b,2)\}, \{(a,2),(b,1),(b,2)\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, der Nebel lichtet sich jetzt etwas. Augenzwinkern

Im nächsten Thread möchte ich gerne diese Produkt-Algebra als Erzeuger verwenden, um daraus eine Produkt-Sigma-Algebra basteln.
Du, HAL 9000, hast dir einen Erzeuger selbst erwählt und eine Produkt-Sigma-Algebra erzeugt, und für mich haben die beiden Enden nie zusammengepasst, deswegen stellte ich die Frage nach der Produkt-Algebra.

Ich werde noch den Link setzten zum Folge-Thread.

17.06.2019, 20:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stutz
Du, HAL 9000, hast dir einen Erzeuger selbst erwählt

Ich habe mitnichten den Erzeuger "selbst erwählt", sondern wie deutlich erwähnt dazu die Mengen $\begin{eqnarray*} A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_1\in\mathcal{A}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2\in\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ genommen. Die Vereinigung dieser Mengen ist was anderes (!) als $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1\times\mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ , was du deiner Reaktion nach zu urteilen anscheinend aber noch nicht realisiert hast.

17.06.2019, 21:01

Stutz

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Ja, stimmt mir hat ein zwischen Schritt gefehlt.

Ich habe gerade mit der Arbeit angefangen und erkannt, dass die beiden Erzeuger gleich sind.
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} Vorher & Zerlegung & Nachher\\ (\{a\},\{1\}), (\{a\},\{2\}), & & \\ (\{a\},\{1,2\}),& \{a\}\times\{1,2\}& \{(\{a\},\{1\}), (\{a\},\{2\})\},\\ (\{b\},\{1\}), (\{b\},\{2\}),& &\\ (\{b\},\{1,2\}),& \{b\}\times\{1,2\}& \{(\{b\},\{1\}), (\{b\},\{2\})\},\\ (\{a,b\},\{1\}), & \{a, b\}\times\{1\}& \{(\{a\},\{1\}), (\{b\},\{1\})\},\\ (\{a,b\},\{2\}), & \{a, b\}\times\{2\}& \{(\{a\},\{2\}), (\{b\},\{2\})\},\\ (\{a,b\},\{1,2\}) & \{a, b\}\times\{1,2\}& \{(\{a\},\{1\}), (\{b\},\{1\}),(\{a\},\{2\}), (\{b\},\{2\})\},\\ \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt verstehe ich, wie du auf den Erzeuger gekommen bist.

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