Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion

15.06.2019, 20:55	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ stetig differenzierbar und $\begin{eqnarray} C\in(0,1) \end{eqnarray}$ eine Konstante, sodass $\begin{eqnarray} \|\|Df(\underline{x})\|\|_{op}\leq C \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \underline{x}\in\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g(\underline{x})=\underline{x}+f(\underline{x}) \end{eqnarray}$ subjektiv ist. Meine Ideen: Was Surjektivität einer Funktion bedeutet ist mir klar. Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies im mehrdimensionalen Fall zeige. Über Tipps bin ich sehr dankbar!
17.06.2019, 21:28	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion Kann mir wirklich niemand helfen?
18.06.2019, 11:38	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion Hallo, Surjektivität bedeutet: Existiert zu y ein x, so dass $\begin{eqnarray} x=y-f(x) \end{eqnarray}$ ? Das ein Fixpunkt-Problem. Die Antwort liefert der Banachsche Fixpunktsatz. Gruß pwm
18.06.2019, 22:22	Pinahoo2006	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion Irgendwie sehe ich aber gerade nicht, wie ich da den Banachschen Fixpunktsatz anwenden soll... Ich wäre über weitere Hilfe wirklich dankbar!
19.06.2019, 11:46	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität einer mehrdimensionalen Funktion Hallo, Du kannst den Banachschen Fixpunktsatz anwenden auf die Abbildung $\begin{eqnarray} T(x)=y-f(x) \end{eqnarray}$ mit "festem" y. Dazu musst Du die Kontraktions-Eigenschaft nachweisen. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes kannst Du dies durch die angegebene Eigenschaft der Ableitung $\begin{eqnarray} Df \end{eqnarray}$ nachweisen. Gruß pwm

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