Doppelt bedingte Wahrscheinlichkeit, gibt es das?

16.06.2019, 15:11

Catmax78

Doppelt bedingte Wahrscheinlichkeit, gibt es das?

Meine Frage:
Es geht um Aufgabe 10 auf dem Foto.

Teil a) ist klar: Bedingte Wahrscheinlichkeit: P+(infiziert); wenn man möchte, kann man auch eine Vierfeldertafel anlegen.
Aber b) und c) verwirren mich.
Soll man in b) wirklich ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit einer Infektion nach zwei positiven Testergebnissen ist? Und wenn ja, wie geht das? Oder soll man da nur argumentieren, warum die Wahrscheinlichkeit einer Infektion steigt?
Und c): Ist das eine Fangfrage?

Meine Ideen:
Meine Überlegungen zu b):

Wenn man das wirklich ausrechnen soll, ist das für mich so etwas wie eine doppelt bedingte Wahrscheinlichkeit. Ich weiß, dass der erste Test positiv war und ich weiß, dass der zweite Test positiv war. Also: P+(P+(infiziert))? Geht das? Oder ist das Unsinn?

Zu c):
In meinen Augen ändert sich an den Wahrscheinlichkeiten gar nichts. Es ist doch völlig egal, aus welchem Grund sich der gute Frank einem Test unterzieht, die Sensitivität bleibt unverändert, genau wie die Chance auf eine Infektion. Oder übersehe ich da etwas?

Vielen dank schon mal!

16.06.2019, 19:04

HAL 9000

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Man geht davon aus, dass die Testergebnisse von Testwiederholungen bedingt (!) unabhängig sind. D.h., wenn wir die Ereignisse

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ... Frank ist infiziert

$\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ ... Test 1 von Frank ist positiv

$\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ ... Test 2 von Frank ist positiv

betrachten, dann gilt unter dieser Annahme der bedingten Unabhängigkeit $\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2\mid K) = P(T_1\mid K)\cdot P(T_2\mid K) \end{eqnarray*}$ und ebenso im Gesundfall $\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2\mid K^c) = P(T_1\mid K^c)\cdot P(T_2\mid K^c) \end{eqnarray*}$ . (Das bedeutet wohlgemerkt nicht, dass $\begin{eqnarray*} T_1,T_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, d.h. es gilt nicht $\begin{eqnarray*} P(T_1\cap T_2) = P(T_1)\cdot P(T_2) \end{eqnarray*}$ .)

So, und in b) geht es gemäß Bayesscher Formel um

$\begin{eqnarray*} P(K \mid T_1\cap T_2) = \frac{P(T_1\cap T_2\mid K)\cdot P(K)}{P(T_1\cap T_2\mid K)\cdot P(K) + P(T_1\cap T_2\mid K^c)\cdot P(K^c)} \end{eqnarray*}$ ,

was man mit der obigen Überlegung dann auch berechnen kann.

16.06.2019, 19:35

Scotty1701D

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RE: Doppelt bedingte Wahrscheinlichkeit, gibt es das?

Zitat:

Original von Catmax78
Zu c):
In meinen Augen ändert sich an den Wahrscheinlichkeiten gar nichts. Es ist doch völlig egal, aus welchem Grund sich der gute Frank einem Test unterzieht, die Sensitivität bleibt unverändert, genau wie die Chance auf eine Infektion. Oder übersehe ich da etwas?

Ich denke mal die Chance auf eine Infektion ( $\begin{eqnarray*} P(K) \end{eqnarray*}$ ) liegt bei jemandem, der ein ungutes Gefühl hat, höher als bei einem durchschnittlichen Probanden.

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