Laplace Operator

16.06.2019, 15:37

Mango123

Laplace Operator

Meine Frage:

ich habe eine Frage zum Laplace Operator und der Fouriertransformation:
Angabe:
$\begin{eqnarray*} \Delta^{2}u+u=f \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Delta^{2}u:=\nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$

1. Ist der $\begin{eqnarray*} \Delta^2 \end{eqnarray*}$ bei der Fouriertransformation so zu behandeln wie $\begin{eqnarray*} u^{4}(t) \end{eqnarray*}$ , dass man also als Transformierte dann $\begin{eqnarray*} -k^{4}\hat{u} \end{eqnarray*}$ rausbekommt?
2. Es soll eine Formel für die Fouriertransformierte der Lösung $\begin{eqnarray*} \hat{u} \end{eqnarray*}$ gefunden werden.

Meine Ideen:
1. Ich denke die beiden Ausdrücke werden gleich behandelt
2. Ich hätte ja $\begin{eqnarray*} \hat{f}=\hat{u}-k^{4}\hat{u} \end{eqnarray*}$ als Gleichung. Da steckt aber gar keine Ableitung mehr drinnen, also muss ich da keine Differentialgleichungen mehr lösen eigentlich?

17.06.2019, 11:39

Ehos

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Hast du eventuell etwas verwechelt und meinst die Gleichung $\begin{eqnarray*} \nabla ^2 u+u=f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla ^2=\Delta \end{eqnarray*}$ ?

17.06.2019, 13:44

Mango123

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nein leider, die angabe sollte so stimmen...

17.06.2019, 15:07

Huggy

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Irgendetwas ist da faul, da stimme ich Ehos zu.

Zitat:

wobei $\begin{eqnarray*} \Delta^{2}u:=\nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$

Man kann nicht Nablaoperatoren hintereinanderschreiben, ohne ein Operationssymbol dazwischen zu schreiben. Die naheliegende Interpretation von $\begin{eqnarray*} \nabla(\nabla u) \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \nabla(\nabla u)=\nabla \cdot (\nabla u) \end{eqnarray*}$

Nun hat man aber die Definition

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot (\nabla u)= \Delta u \end{eqnarray*}$

Auch wenn man bei Definitionen in der Mathematik ziemlich freie Hand hat, ist diese Definition so allgemein üblich, dass man dabei nicht einfach $\begin{eqnarray*} \Delta^2 \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite schreiben kann.

Zitat:

1. Ist der $\begin{eqnarray*} \Delta^2 \end{eqnarray*}$ bei der Fouriertransformation so zu behandeln wie $\begin{eqnarray*} u^{4}(t) \end{eqnarray*}$

Das hängt halt davon ab, was hier mit $\begin{eqnarray*} \Delta^2 \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Zitat:

2. Ich hätte ja $\begin{eqnarray*} \hat{f}=\hat{u}-k^{4}\hat{u} \end{eqnarray*}$ als Gleichung. Da steckt aber gar keine Ableitung mehr drinnen, also muss ich da keine Differentialgleichungen mehr lösen eigentlich?

Nein, das hättest du nicht! Woher soll denn das Minuszeichen kommen? Und wo sind die Anfangswerte geblieben, die bei der Laplacetransformation von Ableitungen eingehen?

Richtig ist, durch die Laplacetransformation können manche Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen verwandelt werden, Genau deshalb verwendet man manchmal die Laplacetransformation zur Lösung von Differentialgleichungen.

17.06.2019, 15:28

Mango123

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ok danke euch zwei, naja wenn es dieses $\begin{eqnarray*} \Delta^{2} \end{eqnarray*}$ nicht gibt, sind meine Fragen eh hinfällig...

17.06.2019, 15:38

Huggy

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Das ist ja nicht gesagt. Man muss nur wissen, wie es definiert wurde. Und hoffentlich nicht im Widerspruch zu der üblichen Definition von $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ .

17.06.2019, 15:43

Mango123

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ich hab das etwas verkehrt abgetippt sorry geschockt

, es soll heißen
$\begin{eqnarray*} \Delta^{2}:=\Delta (\Delta u) \end{eqnarray*}$

17.06.2019, 15:47

Mango123

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es gehört eigentlich ein +,stimmt
ich hab die Formel
$\begin{eqnarray*} F[D^{\alpha}f](k)=(ik)^{\alpha}[F](k) \end{eqnarray*}$ angewandt auf $\begin{eqnarray*} u_{xxxx} \end{eqnarray*}$

17.06.2019, 15:58

Huggy

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Wenn $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ nur von einer Variablen abhängt, z. B. $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , ist mit dieser Defintion tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \Delta^2 u(t)=u^{(4)}(t) \end{eqnarray*}$

und es gelten meine vorigen Anmerkungen zur Laplacetransformation der DGL

$\begin{eqnarray*} u^{(4)}(t)+u(t)=f(t) \end{eqnarray*}$

Nachtrag: Es gilt $\begin{eqnarray*} i^4=1\neq -1 \end{eqnarray*}$

17.06.2019, 16:19

Mango123

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Okay aber die Gleichung $\begin{eqnarray*} u^{(4)}(t)+u(t)=f(t) \end{eqnarray*}$ , die du hier geschrieben hast ist ja nicht die transformierte. Die transformierte lautet also so wie ich im Ausgangspost geschrieben hab, nur mit + statt dem - oder?

17.06.2019, 16:24

Huggy

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Nein!!!
Das Vorzeichen ist jetzt in Ordnung. Aber wie ich schon sagte, gehen in die Laplacetransformation einer Ableitung auch noch die Anfangswerte ein. Die fehlen bei dir.

17.06.2019, 16:30

Mango123

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bei der angabe steht aber nicht mehr dabei. Es steht nur noch dabei:
"Finden Sie eine Formel für die Fouriertransformierte der Lösung $\begin{eqnarray*} \hat{u} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \hat{f} \end{eqnarray*}$ "
Also keine Anfangswerte oder so...

17.06.2019, 16:39

Huggy

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Dann sind halt die Anfangswerte in allgemeiner Form anzugeben, z. B. als $\begin{eqnarray*} u(0),u'(0),u''(0),u'''(0) \end{eqnarray*}$ . Sie gehören definitiv in die Laplacetransformierte von $\begin{eqnarray*} u^{(4)}(t) \end{eqnarray*}$ . Siehe nach bei den Ableitungen in

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Tr...e_Eigenschaften

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