Rotationskörper |
| 16.06.2019, 19:10 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Rotationskörper hat die Nullstellen , und bildet mit ihnen eine fläche oberhalb der x-achse, welche um die x-Achse rotiert, soweit so gut nun kommt eine weitere funktion hinzu, mit den gleichen nullstellen wie f(x) beide funktionen bilden wieder eine fläche, diese soll um dich x-Achse rotieren. meine frage: ist das nicht derselbe rotationskörper wie er entsteht wenn nur f(x) rotiert, weil der rotationskörper von g(x) ja eigentlich in dem anderen drin ist? weil in einem aufschrieb mit den lösungen stand: andy |
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| 16.06.2019, 19:49 | wasisttageslicht? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Prinzip ist das gleiche wie bei einem Kreis. Wenn du einen Kreis mit dem Radius 5 und einen mit 3 [LE] hast, und du willst den Flächenausschnitt des ausgeschnittenen "Donuts" berechnen, dann machst du (25*Pi) - (9*Pi) = 16*Pi. Was du also machen kannst, ist, das Volumen des einen Rotationskörpers mit der Funktion f von dem Volumen des anderen Rotationskörpers mit der Funktion g abzuziehen. (Rechnerisch ist es egal, ob du f von g, oder g von f abziehst, weil das gleiche nur mit anderem Vorzeichen rauskommt. Das Volumen ist aber positiv, also würdest du sowieso den Betrag nehmen.) Du kannst natürlich auch das ganze in eine Rechnung packen, wie du bzw. die Lösung es schon vorschlägt, allerdings ist das Bilden der Stammfunktion dann schwieriger, dafür aber die Rechnung eventuell kürzer. Hoffe es war einleuchtend, viel Glück! |
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| 16.06.2019, 22:56 | Plopp | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
g (x) ist kein 'loch' im rotationskörper, beide rotierenden flächen überlagern sich in dem bereich |
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| 17.06.2019, 08:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier mal die Funktionsgraphen: Der Rotationskörper ergibt sich, wenn man die Fläche zwischen dem grünen und roten Graphen um die x-Achse rotieren läßt. Das ist dann die Motivation für die genannte Lösung. |
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| 17.06.2019, 11:57 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@klarsoweit ja, wenn die graphen so verlaufen würden, wär deine rechnung richtig, aber der untere graph g(x) ist hier falsch abgebildet. du hast statt (rote funktion) gezeichnet, die fläche ist also eine andere .. andy [attach]49376[/attach] |
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| 17.06.2019, 12:37 | DuWeisstSchonWer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@andy und Plopp Ich weiß, was ihr machen wollt, aber das geht nicht, weil es sich dann überlagern würde und das funktioniert nicht. Bevor jemand sagt, dass Mathematik keinen Realitätsbezug haben muss, doch, hat es bei Rotationskörpern. Ich kann nicht Stahl hinhauen, wo schon Stahl ist. Also muss ein Loch gebildet werden, und anscheinend ist das ja auch gemeint, wenn genau das in der Lösung steht und die Spiegelung von klarsoweit ist völlig legitim, da der Graph rotiert und dazu gehört auch eine Spiegelung an der x-Achse. MfG wasisttageslicht? |
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| 17.06.2019, 12:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, vielleicht verstehe ich jetzt etwas falsch, aber wie soll dann der Rotationskörper im dreidimensionalen Raum aussehen? |
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| 17.06.2019, 14:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ andyrue Bitte den Originalwortlaut der Aufgabe angeben. Jedes Wort zählt. Hier wird mir zuviel spekuliert, was gemeint sein könnte, und aus dem Lösungshinweis auf die Aufgabe zurückgeschlossen. In der Tat ist aber mit den bisherigen Angaben die Aufgabe nicht klar bestimmt und damit auch nicht lösbar. |
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| 17.06.2019, 23:40 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@leopold ich poste jetzt die originalaufgabe von einem wirtschaftsgymnasium in baden-württemberg. sie hat mit meiner hier geposteten version nur bedingt was zu tun (habe eine andere, vereinfachte aufgabenstellung gepostet, damit das problem transparenter wird), es geht grundsätzlich wie das volumen von rotationskörpern, welche aus 2 funktionen enstehen die um die x-achse rotieren, wenn sich die rotationsflächen überlappen. darum, und um nix anderes geht es. hier erst mal die aufgabe: [attach]49380[/attach] und hier die lösung des lehrers: [attach]49381[/attach] und hier noch eine grafik mit den zwei funktionen, um die es geht: [attach]49382[/attach] die nullstelle der unteren funktion ist in ist die sache klar: in diesem intervall wäre der lösungsvorschag richtig. aber: in ist befindet sich mein rotations-knackpunkt. wenn in diesem intervall die fläche, welche die beiden funktionen einschließen um die x-achse rotiert, wird ein bereich (den die untere funktion mit der x-achse einschließt) doppelt belegt (so formuliere ich das mal). und jetzt höre ich hier im forum, dass ich diese doppelbelegung abziehen soll, was ich nicht ganz einsehen kann, wenn ich mir den entstehenden rotationskörper in diesem bereich vorstelle ... aus einem einfachen grund: würde ich diese fläche auf papier bringen und würde eine stahlnadel dort einbringen wor die x-achse ist, und würde dann mit dem rotieren beginnen - dann wär da kein hohlraum .. (sondern der überlappte bereich würde bei einer umdrehung der fläche doppelt geschnitten) so würde ich das volumen des gesamten rotationskörpers - wie in der aufgabe gefordert, in zwei intervalle unterteilen und im ersten intervall nur mit der oberen funktion rechnen, und im nur zweiten intervall mit beiden funktionen rechnen, wie im lösungsvorschlag, ich hoffe mein problem kam klar rüber. andy |
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| 18.06.2019, 11:31 | wasisttageslicht? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 Fragen: Wenn du kein Problem mit dem Überlappen hast, warum unterschlägst du dann die untere Funktion in deinem ersten Intervall, um ein Überlappen zu verhindern? "in zwei Intervalle unterteilen - wie in der Aufgabenstellung gefordert" Wo wird das gefordert? In der Aufgabenstellung steht nicht: "Berechne die Nullstelle x0 mit x0 > 0 und unterteile das Intervall in [0;x0] und [xo;3]", sondern du sollst von [0;3] unabhängig von den Nullstellen. |
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| 18.06.2019, 11:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aufgabe b) ist einfach Murks. Du hast mit deinen Einwänden völlig recht. Eine Rotationsfläche darf nicht durch die Rotationsachse geschnitten werden, sonst können Mehrdeutigkeiten entstehen. Ich hätte mir folgende Aufgabenformulierung vorstellen können: b) Die Rotation der Graphen f(x) = ... und g(x) = ... um die x-Achse erzeugen Rotationskörper. Berechnen Sie das Restvolumen, wenn man den kleineren Körper dem größeren entnimmt. So oder ähnlich. Aber es heißt nun mal nicht so. Also ist die Aufgabe falsch gestellt. Entsprechend ist die Lösung ohne Sinn. Entweder hat sich der Lehrer bei seiner Lösung keine Gedanken gemacht, sondern einfach ohne großes Nachdenken wie in den andern Beispielen gerechnet. Oder er hat, auf das Lösungsbuch vertrauend, euch die Lösung einfach kopiert. Wollen wir, da wir Lehrer mögen (wie kommt das nur!), zu seinen Gunsten das Letztere annehmen. |
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| 18.06.2019, 11:45 | wasisttageslicht? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Als Unregistrierter kann ich nicht editieren) Hab die Volumina mal unabhängig voneinander im Intervall [0;3] ausgerechnet und bin mit meinen gerundeten Werten auf V1= 183,31 und V2= 126,76 also Vges = V1 - V2 = 183,31 - 126,76 = 56,55 gekommen, was ungefähr der Lösung deines Lehrers entspricht. Dann kann das Abziehen ja nicht so verkehrt sein. |
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| 18.06.2019, 11:54 | wasisttageslicht? | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich gebe Leopold recht, dass die Aufgabenstellung nicht die beste ist (sieht man ja an der entstandenen Diskussion), und in meinen alten Schulbüchern (auch BW / allgemeinbildend) gab es weder im normalen Schulbuch, noch im Buch vom Leistungskurs eine Aufgabe, bei der ein Graph unter die x-Achse ragt. Dennoch glaube ich, dass man abwägen muss, was wahrscheinlich ist (in der Schule wird ja keine Herkulesaufgabe gestellt) und was auch Sinn ergibt, was nicht das gleiche wie mathematisch möglich ist. |
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| 18.06.2019, 12:03 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@leopold bin schon froh wenn - wie aus deiner antwort ersichtlich - überhaupt schon rüberkommt, was ich mit meinem thread meine. weil beim lösungsvorschlag und auch beim vorschlag von klarsoweit (bei der vereinfachten aufgabenstellung oben) vom volumen des äußeren/größeren rotationskörpers ein hohlraum abgezogen wird, während das in meiner anschauung (schneiden wir die rotationsfläche auf pappe aus -> nadel wo die x-achse ist -> rotieren) nicht der fall ist. genau das ist der grundgedanke gewesen. man kann sich fragen ob es notation gibt, wie in einem solchen fall zu handeln ist. andy |
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| 18.06.2019, 12:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst einer verdorbenen Aufgabenstellung nicht nachträglich einen Sinn zu geben, so nach der Methode "zu retten, was zu retten ist". Du hast die Problematik erkannt. Laß die Aufgabe liegen, sie ist bedeutungslos. Vermutlich ist irgendwo bei der Aufgabenerstellung ein Druck- oder Übertragungsfehler oder sonst etwas passiert. Nehmen wir an, in einer Reihe sinnvoller Dreiecksaufgaben befindet sich die ernstgemeinte Aufgabe "Konstruiere ein Dreieck mit ." Würdest du jetzt auch auf Teufel komm raus versuchen, diese Aufgabe zu retten, indem du ihr nachträglich durch Änderungen einen Sinn gibst? Vielleicht war es ja nur ein Zahlendreher und der eine Winkel sollte 27° sein. Oder es hätte (Außenwinkel) heißen sollen. Aber das wäre doch nur Spekulation. Wenn eine Aufgabe als unsinnig erkannt ist, dann besteht die Lösung darin, die Aufgabe als unsinnig erkannt zu haben. |
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| 18.06.2019, 23:33 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@DuWeisstSchonWer dein zitat "... Ich kann nicht Stahl hinhauen, wo schon Stahl ist ..." ist nicht gültig, wenn es sich um materie <=> antimaterie handelt. dann ist das möglich und mit einer gewaltigen energie, die mittels strahlung emittiert. ich bitte an dieser stelle doch, etwas über den tellerrand hinauszuschauen 
.andy |
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| 20.06.2019, 00:05 | andyrue | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@leopold bin inzwischen im netz auf dieses dokument gestoßen: [attach]49392[/attach] sitz ich jetzt fragend da ... weil die da sagen: das geht doch? andy |
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| 20.06.2019, 14:13 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun ja, es geht, weil die von dem Funktionsteil, der unterhalb der x-Achse liegt, den Betrag nehmen. Und dann sind wir genau an diesem Punkt:
Im Grunde habe ich also genommen, womit ich dann auf der Linie des Arbeitsblattes liege. 
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