Stetige Zufallsverteilungen immer stochastisch unabhängig?

17.06.2019, 00:17

Okuytb

Stetige Zufallsverteilungen immer stochastisch unabhängig?

Hallo angenommen X, Y sind zwei standard normalverteilte ZVen.

Dann habe ich immer:

P(X=x, Y=y)=0=0*0=P(X=x)P(Y=y),

daraus folgt immer die Unabhängigkeit.

Wann sind zwei standard normalverteilte ZVen mal abhängig?
Imao geht das bei stetigen gar nicht.

Danke.

17.06.2019, 08:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Okuytb
P(X=x, Y=y)=0=0*0=P(X=x)P(Y=y),

daraus folgt immer die Unabhängigkeit.

Wenn man das so machen könnte, dann wäre alle stetigen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von beliebigen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig, u.a. auch von sich selbst. Geradezu absurd.

Es sieht so aus, als hast du eine falsche Vorstellung davon, was für Unabhängigkeit nachzuweisen ist. Tatsächlich sind $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig, wenn

$\begin{eqnarray*} P(X\in A,Y\in B) = P(X\in A)\cdot P(Y\in B)\quad (*) \end{eqnarray*}$

für alle Borelmengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gilt. Da das ziemlich unpraktisch im Nachweis ist, genügt es (*) für alle Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ aus einem Erzeugendensystem der Borel-Sigmaalgebra zu beweisen, z.B. alle Mengen $\begin{eqnarray*} (-\infty,x] \end{eqnarray*}$ würden da genügen:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x,Y\leq y) = P(X\leq x)\cdot P(Y\leq y) \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y) \end{eqnarray*}$ für die Verteilungsfunktionen.

Und jetzt kommt der Knackpunkt: Die Einermengen $\begin{eqnarray*} \{x\},\{y\} \end{eqnarray*}$ bilden KEIN Erzeugendensystem der Borel-Sigmaalgebra, somit ist deren Betrachtung allein (wie bei dir) nicht ausreichend!

Was anderes ist es bei diskreten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ : Hier ist der Wertebereich von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ ja nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sondern nur eine höchstens abzählbare Teilmenge davon. In dem Fall genügen die Einermengen, was man leicht beweisen kann. Du hast nun anscheinend von diesen diskreten Zufallsgrößen eine unzulässige Parallele zu den hier vorliegenden stetigen Zufallsgrößen gezogen. unglücklich

17.06.2019, 10:59

Okuytb

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Danke!

Ich hatte gedacht, dass man lediglich die Ereignisse betrachtet, die die Zufallsvariable definieren. Was meine ich damit?

Die WK des Ereignisses P(X<0), oder besser gesagt, das Ereignis X<0 ist kein Ereignis , das standard normal verteilt ist, wenn ich X<0 mehrmals beobachte. Nur wenn ich die elementaren Ereignisse nehme und sozusagen von der Verteilung sample, reproduziere ich im unendlichen die Verteilung.

17.06.2019, 11:07

HAL 9000

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total wirres Zeug

Zitat:

Original von Okuytb
das Ereignis X<0 ist kein Ereignis , das standard normal verteilt ist, wenn ich X<0 mehrmals beobachte.

Dieser Satz ergibt für mich Null Sinn:

$\begin{eqnarray*} A:=\{X<0\} \end{eqnarray*}$ ist ein Ereignis, ja. Aber Ereignisse besitzen keine Verteilung, sondern nur eine Wahrscheinlichkeit. Und "mehrmals beobachten" kann man allenfalls, ob das Ereignis eintritt ( $\begin{eqnarray*} \omega\in A \end{eqnarray*}$ ) oder eben nicht ( $\begin{eqnarray*} \omega\not\in A \end{eqnarray*}$ ). Von Normalverteilung keine Spur.

Auch aus dem Rest deines Beitrags erschließt sich mir nicht, worauf du hinaus willst. unglücklich

17.06.2019, 11:10

Okuytb

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Wenn ich überprüfen will, ob ein Prozess Standard normalverteilt ist, mache ich das anhand der elementar Ereignissen.

17.06.2019, 11:19

HAL 9000

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Man kann sich tatsächlich mal die Sigma-Algebra anschauen, die von deinen Einermengen $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{A} = \left\{ A\subset\mathbb{R} \mid A\mbox{ oder }\mathbb{R}\setminus A\mbox{ abzählbar }\right\} \end{eqnarray*}$

Ziemlich dünn, was da so drin ist: Es fehlen z.B. sämtliche endlichen Intervalle echt positiver Länge. smile

Also nochmal: Die bloße Betrachtung von $\begin{eqnarray*} P(X=x,Y=y) \end{eqnarray*}$ ist komplett ungeeignet zur Überprüfung der Unabhängigkeit stetiger Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ .

17.06.2019, 11:28

Okuytb

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Ich habe schon verstanden, was du meinst.

Wenn ich eine Überprüfung in der Praxis vollziehen möchte die Verteilung betreffend, welcher Ereignisse schaust du dir an?

17.06.2019, 11:29

HAL 9000

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Was heißt "in der Praxis" ??? Worüber reden wir hier eigentlich?

a) Über Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit bekannter gemeinsamer Verteilung?

b) Lediglich über Stichproben dieses Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ , anhand derer man bewerten (testen) soll, ob Unabhängigkeit vorliegt?

Bisher was ich davon ausgegangen, dass es um a) geht. Wenn es um das Statistik-Problem b) geht, dann sag das doch bitte auch deutlich.

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