Volumenintegral berechnen

17.06.2019, 10:45	LeichterBär	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral berechnen Hallo Liebe Matheboard User, ich sitze gerade an dieser Aufgabe und weis wirklich nicht weiter. Sei 0 < r < R sei $\begin{eqnarray} T_{r,R} = \left\{(x,y,z) \in \mathbb R ^{3}\| (\sqrt{x^{2}+y^{2}}-R)^{2} + z^{2} \leq r^2 \right\} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \int_{T_{r,R} }^{} \! 1 \, d^{3}x \end{eqnarray}$ Also das es sich hierbei um ein Volumenintegral handelt ist durch das d^3 ja soweit klar, allerdings verstehe ich nicht was genau ich hierbei berechnen soll, da das zu berechnende Integral ja nur aus der 1 besteht und ich es hierbei mit einer Ungleichung zu tun habe. Über Hilfe und Hinweise wäre ich sehr Dankbar Mit freundlichen Grüßen LeichterBär
17.06.2019, 11:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich um einen Torus (=Rettungsring). Bei WIKIPEDIA findet man unter dem Srtichwort "Torus" eine Parametrisierung desselben und sogar die Formel für das Volumen. Aber letztere darfst du bestimmt nicht benutzen Mit der Parametrisierung kann man auf die übliche Weise das Volumenformel herleiten.
17.06.2019, 14:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kommt auch ohne eine Parametrisierung aus. Man muß lediglich das Kreisintegral kennen. Wir denken uns auf dem Blatt ein $\begin{align} xz \end{align}$ -Koordinatensystem, in dem um den Punkt $\begin{align} (x,z)=(R,0) \end{align}$ ein Kreis $\begin{align} k \end{align}$ vom Radius $\begin{align} r \end{align}$ liegt ( $\begin{align} 0<r<R \end{align}$ ): $\begin{align} k: \ \left( x - R \right)^2 + z^2 = r^2 \end{align}$ Rotiert dieser Kreis um die $\begin{align} z \end{align}$ -Achse, so beschreibt er genau den Körper $\begin{align} T_{r,R} \end{align}$ (man ergänzt dazu die $\begin{align} y \end{align}$ -Achse vom Blatt weg nach hinten zeigend). Mit $\begin{align} z \end{align}$ als unabhängiger und $\begin{align} x \end{align}$ als abhängiger Variablen läßt sich $\begin{align} k \end{align}$ aus zwei Funktionsgraphen zusammensetzen. Man löst dazu die Kreisgleichung nach $\begin{align} x \end{align}$ auf und erhält die beiden Fälle $\begin{align} x = f(z) = R + \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ z \in [-r,r] \end{align}$ $\begin{align} x = g(x) = R - \sqrt{r^2 - z^2} \, , \ z \in [-r,r] \end{align}$ Der Graph von $\begin{align} f \end{align}$ beschreibt den rechten Halbkreis, der Graph von $\begin{align} g \end{align}$ den linken. Rotiert die Fläche zwischen $\begin{align} z \end{align}$ -Achse und dem Graphen von $\begin{align} f \end{align}$ um die $\begin{align} z \end{align}$ -Achse, entsteht ein Körper von der Form eines Käselaibs. Beim Graphen von $\begin{align} g \end{align}$ kann man sich den Rotationskörper als eine Art Felge vorstellen. Der Differenzkörper ist gerade der Torus. Für sein Volumen gilt mit Schulmathematik: $\begin{align} V = \pi \int_{-r}^r \left( f(z) \right)^2 ~ \dd z \ - \ \pi \int_{-r}^r \left( g(z) \right)^2 ~ \dd z \end{align}$ Es ist geschickter, die Integrale nicht getrennt auszurechnen. Zieht man alles unter ein Integral, heben sich nämlich die meisten Glieder weg und es bleibt nur noch $\begin{align} V = \pi \int_{-r}^r \left( \left( f(z) \right)^2 - \left( g(z) \right)^2 \right) ~ \dd z \ = \ \pi \int_{-r}^r 4R \sqrt{r^2 - z^2} ~ \dd z \end{align}$ Und wenn man sich klarmacht, daß der Wurzelterm zuletzt einen Halbkreis vom Radius $\begin{align} r \end{align}$ beschreibt, ist eigentlich alles gesagt.
18.06.2019, 09:46	LeichterBär	Auf diesen Beitrag antworten »
auf jeden fall ein großes Dankeschön für diese ausführlichen Antworten. Also wenn ich das richtig verstanden habe, handelt es sich bei dem letzten Wurzelterm um eine Halbkreis, allerdings benötige ich einen ganzen Ring. Was bedeutet das ich das den Term mal 2 nehme und dann das Integral berechne oder habe ich das falsch verstanden ?
18.06.2019, 11:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest schon den ganzen Text lesen, nicht nur den Schluß. Die von mir hergeleitete Formel berechnet das Volumen des Torus, also genau das, was du suchst. Ich habe die Rechnung nur nicht zu Ende geführt, sondern mit dem Integral $\begin{align} \int_{-r}^r \sqrt{r^2 - z^2} ~ \dd z \end{align}$ aufgehört. Diesen Wert kannst du nun mit Standardmethoden berechnen, entweder über eine Stammfunktion oder mit einer Substitution. Oder du kannst sagen: "Mensch! Das Integral habe ich schon einmal gesehen! So wird doch der Flächeninhalt eines Halbkreises vom Radius $\begin{align} r \end{align}$ berechnet!" Dann kannst du den aus der Schule oder der Vorlesung bekannten Wert, der seit Archimedes zum Gemeingut aller Mathematiker gehört, verwenden. Wie du es letztlich anstellst, hängt davon ab, was in der Vorlesung verlangt wird.

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