Galoiserweiterung primitives Element

17.06.2019, 13:43

adn110

Galoiserweiterung primitives Element

Meine Frage:
Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und sei a?L, so dass verwirrt

a)?a für alle 1???Gal(L/K). Zeigen Sie: a ist ein primitives Element von L/K.

Meine Ideen:
Ich habe schon überlegt, dass K(a)\subseteq L ist, und ich zeigen will, dass hier Gleichheit gilt.

17.06.2019, 13:49

adn1100

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RE: Galoiserweiterung primitives Element
Sei L/K eine endliche Galoiserweiterung und sei $\begin{eqnarray*} a \neq L \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \sigma (a) \neq a \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1 \neq \sigma \in Gal(L/K) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: a ist ein primitives Element von L/K.

Meine Ideen:
Ich habe schon überlegt, dass $\begin{eqnarray*} K(a) \subseteq L \end{eqnarray*}$ ist, und ich zeigen will, dass hier Gleichheit gilt.

17.06.2019, 14:43

Elvis

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Korrektur der Voraussetzung:

Zitat:

Original von adn1100
Sei $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ eine endliche Galoiserweiterung und sei $\begin{eqnarray*} a \in L \end{eqnarray*}$ , ...

Als Teilkörper einer Galoiserweiterung $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K(a)\subseteq L \end{eqnarray*}$ Fixkörper einer Untergruppe der Galoisgruppe $\begin{eqnarray*} Gal(L/K) \end{eqnarray*}$ . Nach Voraussetzung (nur die Identität fixiert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , also genau die Identität fixiert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ) und per def ( $\begin{eqnarray*} Gal(L/K) \end{eqnarray*}$ fixiert $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ) ist die fragliche Fixgruppe die Identität, also ...

Nachfrage: Wo braucht man hier die Endlichkeit ?

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