Divergenzform

17.06.2019, 14:00	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenzform Meine Frage: Hallo, ich verstehe nicht wie ein Differentialoperator in Divergenzform gebracht werden kann und umgekehrt. In meinem Skript steht, dass es einfach mittels Differentiation gemacht wird. Aber leider verstehe ich das Beispiel welches dabei steht nicht ganz. Also es die Divergenzform: $\begin{eqnarray} L'(u)=-div(A'(x)\nabla u)+b'(x)\cdot \nabla u+cu \end{eqnarray}$ gegeben. Rauskommen soll $\begin{eqnarray} -\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{\partial^2u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}+\sum_{i,j=1}^{n}b_{i}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{i}}+c(x)u \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Beim ersten Term würde ich ja mal die Divergenz anwenden, dann hätte ich $\begin{eqnarray} A'(x)\nabla u \end{eqnarray}$ , aber wenn ich dann ableite bekomme ich ja $\begin{eqnarray} \nabla A'(x)\Delta u \end{eqnarray}$ . In der angegebenen Lösung steht jedoch bei $\begin{eqnarray} A(x) \end{eqnarray}$ keine Ableitung dabei. Bei den zweiten und dritten Term wird ja eigentlich gar nicht abgeleitet sondern das nur als Summe geschrieben, warum?
18.06.2019, 14:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem Term gilt - $\begin{eqnarray} A(\vec x) \end{eqnarray}$ = Matrix - $\begin{eqnarray} \vec b(\vec x) \end{eqnarray}$ = Vektor - $\begin{eqnarray} c(\vec x) \end{eqnarray}$ = Skalar Alle drei Größen sind abhängig von $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ . Im Allgemeinen hat man also folgenden Term: $\begin{eqnarray} \underbrace{-div \left [\begin{pmatrix} A_{11}(\vec x) & A_{12}(\vec x) & A_{13}(\vec x) \\ A_{21}(\vec x) & A_{22}(\vec x) & A_{23}(\vec x) \\ A_{31}(\vec x) & A_{32}(\vec x) & A_{33}(\vec x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u}{\partial x_2} \\ \tfrac{\partial u}{\partial x_3} \end{pmatrix} \right ]}_{-div[A\nabla u]}+\underbrace{\begin{pmatrix} b_1(\vec x) \\ b_2(\vec x) \\ b_3(\vec x) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{\partial u}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial u}{\partial x_2} \\ \tfrac{\partial u}{\partial x_3} \end{pmatrix}}_{\vec b\nabla u}+c(\vec x)u \end{eqnarray}$ Man muss also im ersten Summanden die eckige Klammer [...] ausmultiplizieren und davon anschließend die Divergenz div[...] berechnen. Das ist etwas Schreibarbeit. Dieser erste Summand wird einfacher, wenn die Matrix A diagonal ist, und noch einfacher, wenn sogar alle drei Diagonalelemente identisch sind.
18.06.2019, 17:40	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, ich hab das jetzt ausmultipliziert und hab einen Vektor mit 3 Zeilen, wie wende ich darauf die Divergenz an? Einfach die drei Zeilen addieren und ableiten oder? Und wie mache ich es umgekehrt wenn ich diese Summen gegeben habe und auf die Divergenzform möchte?
18.06.2019, 17:41	Mango123	Auf diesen Beitrag antworten »
ok verstehe schon wie man zu den 2.ableitungen kommt

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