Anfangswertproblem (DGL 2. Grades)

17.06.2019, 18:50

Problemnoob

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Anfangswertproblem (DGL 2. Grades)

Meine Frage:
Hallo,

Ich hab vor 1 Jahr Mathe 2 geschrieben und nicht bestanden. Dieses Semester würde ich es gerne nochmal schreiben, jedoch habe ich leider das meiste vergessen und die Übungen sind auch nicht das Gelbe vom Ei.

Ich habe auch Bilder von der formelsammlung hochgeladen, die wir in der klausur mitnehmen dürfen.

Danke für die Hilfe

Meine Ideen:
Woran ich mich noch erinnern kann ist, dass man anhand der Funktion wissen muss, ob es eine störfunktion besitzt oder nicht. Da es eine störfunktion besitzt, muss man erst mit der Formel: y=yh +yp berechnen.

Dazu muss man erst yh bestimmen.
\lambda - 2\lambda +0=0

17.06.2019, 20:42

SM!LE

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Hi,

ganz richtig als erstes musst du deine homogene Lösung $\begin{eqnarray*} y_h \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Als kleiner Tipp an dieser Stelle ich würde hier die Exponentialfunktion benutzen um diese DGL 2. Ordnung zu lösen.

Vielleicht etwas konkreter:

$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

Das setzt du dann einfach für y(x) ein.

Die homogene Lösung deiner DGL 2. Ordnung wäre dann:

$\begin{eqnarray*} y_h=c_1\cdot e^x+c_2\cdot e^{-2x} \end{eqnarray*}$

20.06.2019, 13:02

Problemnoob

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Hallo,

vielen Dank für die Hilfe.
Ich hab mal mit der pq Formel 2 lamdawerte raus bekommen.
Und zwar lamda1=1 und lamda2= -2.

Laut Formelsammlung muss ich also die erste obere Formel nehmen von Yhom, oder?

Danke im Voraus.

20.06.2019, 13:38

Problemnoob

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Im Anhang habe ich eine andere Aufgabe von einer älteres klausur

20.06.2019, 14:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Problemnoob
Laut Formelsammlung muss ich also die erste obere Formel nehmen von Yhom, oder?

Ich weiß jetzt nicht, welche erste obere Formel du meinst, aber SM!LE hat ja schon die homogene Lösung korrekt angegeben.

20.06.2019, 14:30

Problemnoob

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Ja genau, das ist richtig und ich hab’s bis dahin verstanden.
In der ersten Seite der formelsammlung in der Mitte fängt es an.
Nur weiß ich nicht was C1 und C2 ist.
Also ich würde sagen, dass C1=3 und C2= 0 ist.
P1= -2? Soweit kann ich mich noch erinnern.

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20.06.2019, 14:58

SM!LE

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$\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ können beliebige reelle Vielfache sein wenn es darum geht die allgemeine Lösung der in dem Fall hom. lin. DGL zu bestimmen. (Ohne Störfunktion)

Also:
$\begin{eqnarray*} c_1, c_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ musst du später bestimmen um dein Anfangswertproblem zu lösen. Da erst nehmen $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ konkrete Werte an.

Was du aber zuvor noch machen musst ist deine partikuläre/spezielle Lösung deiner DGL zu bestimmen.
Hast du dafür einen Ansatz?

20.06.2019, 15:09

Problemnoob

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Ja, Yp= e^(a*x)*(p1(x)*cos(b*x)+p2(x)+sin (bx))?
Jetzt die Frage woher ich p1 und p2 bekomme.

LG

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

20.06.2019, 15:18

SM!LE

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Zitat:

Original von Problemnoob

Ja, Yp= e^(a*x)*(p1(x)*cos(b*x)+p2(x)+sin (bx))?
LG

Ich hätte folgenden Ansatz verwendet:

$\begin{eqnarray*} y(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D \end{eqnarray*}$

Ps.: Bei deinem Ansatz müsste ich auf einen anderen Helfer verweisen. Mit meinem Ansatz kommst du aber vermutlich wesentlich einfacher zum Ergebnis.

20.06.2019, 15:29

Problemnoob

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Ich hab es mal geschrieben.
Kommt das so hin?

Edit: ja ich mache alles über die formelsammlung. q1 müsste also p1* cos(x) sein.

Wie kommst du auf die x^3?

Lg

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

20.06.2019, 15:53

SM!LE

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Das $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ kommt von deiner kubischen Störfunktion.

Wie gesagt bei deinem Ansatz wüsste ich aktuell auch nicht wie ich auf die partikuläre Lösung kommen soll.
Ich würde mich an deiner Stelle nicht blind auf die Formelsammlung stürzen. Wir dürfen ein A4 Blatt selbst beschreiben mit Formeln, was ich wesentlich besser finde.
Du zwingst du dir aktuell einen umständlichen Lösungsweg auf mit dem du vermutlich auch zum Ziel kommst aber die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Fehler machst ist höher und die Zeit die dabei drauf geht steht halt in keinem Verhältnis zur Schwierigkeit der Aufgabe.

Mein Lösungsansatz(erweitert):

$\begin{eqnarray*} y(x)&=Ax^3+Bx^2+Cx+D \end{eqnarray*}$

Die wird erstmal 2 mal abgeleitet, da du eine DGL 2. Ordnung lösen musst.
Man kann an dieser Stelle schon durch genaues hinschauen feststellen, das A=1 sein muss.

$\begin{eqnarray*} y'(x)&=3Ax^2+2Bx+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''(x)&=6Ax+2B \end{eqnarray*}$

Nun setzten wir ein:

$\begin{eqnarray*} y''+y'-2y=-2x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x+2B+3x^2+2Bx+C-2(x^3+Bx^2+Cx+D)=-2x^3 \end{eqnarray*}$

Wie du hier direkt siehst fällt $\begin{eqnarray*} -2x^3 \end{eqnarray*}$ weg und übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} 6x+2B+3x^2+2Bx+C-2(Bx^2+Cx+D)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{c}3-2B=0~~(alle~x^2~Terme)\\6+2B-2C=0~~(alle~x~Terme)\\2B+C-2D=0~~(alle~Konstanten)\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Das müsstest du einfach nur noch Lösen und hättest B, C und D bestimmt.

Wie gesagt ich würde nicht versuchen krampfhaft einen bestimmten Ansatz zu verfolgen sondern einen zu wählen, der dich einfach ans Ziel bringt.

Zum Vergleichen:

$\begin{eqnarray*} y_p=x^3+\frac32x^2+\frac92x+\frac{15}4 \end{eqnarray*}$

20.06.2019, 16:15

Problemnoob

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Vielenvielen dank.
Ja dein Ansatz kann man gut nachvollziehen und verstehen.
Am besten ist es, wie du schon sagst, dass man seine eigene Methode verwendet.

Edit: aber die Formel in der formelsammlung ist eig. auch einfach. Man muss nur wissen was a, b, p1 und p2 ist. Ich erinnere mich zu wissen, dass man sie in der störfunktion entnehmen konnte.

20.06.2019, 16:38

Problemnoob

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Eine kurze Frage. Wieso hast du beim einsetzen der Ableitungen das A weggelassen?

LG

20.06.2019, 16:55

SM!LE

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Zitat:

Original von SM!LE

Man kann an dieser Stelle schon durch genaues hinschauen feststellen, das A=1 sein muss.

bei y'(x) und y''(x) kommt ja schon kein $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ mehr vor. Lediglich bei y(x) ist noch ein $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ enthalten.
Einsetzten:

$\begin{eqnarray*} 6Ax+2B+3Ax^2+2Bx+C-2(Ax^3+Bx^2+Cx+D)=-2x^3 \end{eqnarray*}$

Dann kannst du wie vorhin für die anderen Terme auch für die $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ Terme folgende Gleichung aufstellen:

$\begin{eqnarray*} -2Ax^3=-2x^3 \end{eqnarray*}$

Damit folgt, dass A=1 ist.

Wenn du wie in diesem Fall das A direkt "erraten" kannst, dann vereinfachst du dir das Gleichungssystem.

Jetzt gilt es nur noch das Anfangswertproblem zu lösen und du bist durch smile

smile

20.06.2019, 17:14

Problemnoob

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Ich komme auf
y(x)= e^x+e^(-2x)+(15/4)+(9/2)x+(3/2)x^2+x^3
Tanzen

Tanzen

20.06.2019, 17:55

SM!LE

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Genau das ist aber erst die allgemeine Lösung deiner DGL 2. Ordnung.
Du hast hier noch ein Anfangswertproblem geben was du berücksichtigen musst.
Aktuell gibt es unendlich viele DGL die diese Bedingung erfüllen. (ohne das Anfangswertproblem zu berücksichtigen)

Die reellen Konstanten $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ sind ja aktuell noch beliebig wählbar.
Da du aber ein Anfangswert gegeben hast gibt es nur eine DGL die alle Bedinungen erfüllt d.h. du musst die Konstanten nun konkret für deinen gegebenen Fall bestimmen.

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