Konvergenz einer Folge mit Cauchy beweisen

18.06.2019, 10:29	Schmeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge mit Cauchy beweisen Hallöchen, Ich soll folgende Aufgabe lösen: Überprüfen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums ob die Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ gegeben durch : $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Hierbei habe ich allerdings noch ein paar Probleme, Also für das Cauchy Kriterium gilt ja : $\begin{eqnarray} \forall E > 0 \exists n_{0}\in \mathbb N \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \forall m,n\geq n : \|a_{m}-a_{n}\| < E \end{eqnarray}$ sprich ich muss: $\begin{eqnarray} \|a_{m}-a_{n}\| = \frac{(-1)^{m}}{\sqrt{m} } - \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n} } \leq E \end{eqnarray}$ beweisen. Allerdings verstehe ich noch nicht so genau wie ich das beweisen soll. Wenn jemand Hinweise hätte wäre ich sehr dankbar
18.06.2019, 10:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst fehlt da mal ein Betrag \|.\|, darauf wendest du die Dreiecksungleichung an. Wähle $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ , dann kommst du eventuell auf $\begin{eqnarray} \frac 2{\sqrt {n_0}}<\epsilon \end{eqnarray}$ . Daraus machst du eine Bedingung für $\begin{eqnarray} n_0(\epsilon) \end{eqnarray}$ . Alle Implikationen rückwärts, fertig.

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