Summenformel (mit Sinus und Cosinus) beweisen

18.06.2019, 17:43	crymath123	Auf diesen Beitrag antworten »
Summenformel (mit Sinus und Cosinus) beweisen Meine Frage: Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray} x\in (0,2\pi) und alle n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{n} \cos(kx) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2}) x) }{2\sin(\frac{x}{2}) } \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: ich habe gedacht es über Induktion zu zeigen... jedoh stoße ih schon beim Anfang auf das Problem: I.A. Sei n=1: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \frac{\sin(1,5x) }{\sin(\frac{x}{2} ) } \end{eqnarray}$ habe ich den falschen Ansatz verwendet... ein paar Tipps wären nett... Danke schonmal
18.06.2019, 18:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die rechte Seite ist $\begin{eqnarray} \frac{\sin(x + \frac x 2)}{2 \sin \frac x 2} = \frac 1 {2 \sin \frac x 2} \left(\sin x \cos \frac x 2 + \cos x \sin \frac x 2 \right) = \frac 1 {2 \sin \frac x 2} \left(2 \sin \frac x 2 \cos^2 \frac x 2 + \cos x \sin \frac x 2 \right) = \cos^2 \frac x 2 + \frac{\cos x} 2 = ... \end{eqnarray}$ Nun vergleiche mit der linken Seite. mY+
18.06.2019, 18:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfacher als Induktion unter Berücksichtigung diverser Additionstheoreme ist der Weg übers Komplexe: Da ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^n \cos(kx) = \frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n \cos(kx) \stackrel{!}{=} \frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n e^{ikx} = \frac{1}{2}e^{-inx}\sum_{k=0}^{2n} \left(e^{ix}\right)^k\qquad () \end{eqnarray}$ , wobei Gleichheit $\begin{eqnarray} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \cos(kx)=\cos(-kx) = \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2} \end{eqnarray}$ beruht. Rechts in () nutzt man die geometrische Reihenpartialsummenformel.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »