Reihe umordnen

18.06.2019, 18:36

yannik0103

Reihe umordnen

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} (a_{n,m})_{n,m\in \mathbb N } mit \sum\limits_{m=1}^{\infty} | a_{n,m} | < \infty . Zeigen Sie \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{m=1}^{\infty} a_{n,m} = \sum\limits_{m=1}^{\infty} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n,m} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass man da die Summen der Beträge kleiner unendlich ist, man die Folgenglieder untereinander umordnen kann, aber ich finde hierfür keine gute Begründung. Vielen Dank für eure Hilfe!

18.06.2019, 18:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von yannik0103
mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m=1}^{\infty} | a_{n,m} | < \infty \end{eqnarray*}$

Ist das so zu verstehen, dass das für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Das wäre eine zu schwache Voraussetzung, denn sie ermöglicht das Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} a_{n,n}=1,\, a_{n,n+1}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n,m}=0 \end{eqnarray*}$ für alle anderen $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$

für die zu beweisende Summengleichheit. unglücklich

18.06.2019, 19:04

yannik0103

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sorry da muss noch eine Summe von n=1 bis unendlich vor die hab ich vergessen

18.06.2019, 19:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die ist entscheidend. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Reihe umordnen

Verwandte Themen