Fixpunktsätze

19.06.2019, 10:20	Tamara57	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsätze Wir sollen zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(x,y) = ( cos (x^2-x^3+y^2)-x , \frac{-y^3}{1+y^2}+cos(y^2-x) ) \end{eqnarray}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ hat. Da wir vor kurzem in der Vorlesung Fixpunktsätze behandelt haben, nehme ich an, dass es mit denen zu lösen ist. $\begin{eqnarray} f(x,y) + (x,y) = ( cos (x^2-x^3+y^2)-x , \frac{-y^3}{1+y^2}+cos(y^2-x) ) + (x,y) = (x,y) \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich den Fixpunktsatz von Banach verwenden und zeigen, dass f eine Kontraktion ist. Also zu zeigen: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \| ( cos (x_1^2-x_1^3+y_1^2) - cos (x_2^2-x_2^3+y_2^2) ), ( \frac{-y_1^3}{1+y_1^2}+cos(y_1^2-x_1) - \frac{-y_2^3}{1+y_2^2}+cos(y_2^2-x) - y_1 + y_2) \| \leq k \|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\| \end{eqnarray*}$ Da komme ich aber nicht weit. Bin ich auf dem richtigen Weg? Wie kann ich zeigen, dass f eine Kontraktion ist?
19.06.2019, 12:23	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsätze Hallo, mit der Kontraktion sieht es für mich schwierig aus. Aber die Fixpunktabbildung, also $\begin{eqnarray} f+I \end{eqnarray}$ hatein beschränktes Bild. Kennt Ihr noch einen anderen Fixpunktsatz? Gruß pwm
19.06.2019, 12:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
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19.06.2019, 14:35	Tamara57	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich könnte den Fixpunktsatz von Brouwer verwenden! Dann muss ich zeigen, dass f den Einheitskreis auf sich selber abbildet. Bei der Zeichnung ist das schon schön zu sehen. Um das mathematisch zu zeigen, hätte ich die x-Koordinate und die y-Koordinate getrennt behandelt. Meine erste Idee war, die Dreiecksungleichung anzuwenden und cos abzuschätzen, das funktioniert hier aber nicht, da ich damit f nur durch (2,1.5) abschätzen kann. Wie kann ich da vorgehen?
20.06.2019, 12:10	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn Ihr keine Varianten zum Fixpunktsatz von Brower kennengelernt habt, hilft vielleicht folgende Überlegung: Wenn die Funktion f den Kreis um den Nullpunkt mir Radius r in sich abbildet, dann bildet $\begin{eqnarray} h(x):=\frac{1}{r} f(rx) \end{eqnarray}$ den Kreis mit Radius 1 in sich ab. Gruß pwm

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