Anwendung rekursiver Folgen

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OleggelO Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendung rekursiver Folgen
Guten tag liebe Mathefreunde,
ich sitze gerade vor dieser Aufgabe und weis nicht wirklich weiter:

Die Größe einer Population zum Zeitpunkt werde mit bezeichnet. Die Population unterliege dem folgenden rekursiv definierten Entwicklungsgesetz.



a) Bestimmen Sie für die Folgenglieder

b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die explizite Darstellung vonfür einen beliebigen Anfangswertgegeben durch:


c) Bestimmen Sie mit Hilfe von b) den Grenzwert für einen beliebigen Anfangswert

d) Interpretieren Sie kurz, was das gegebene Entwicklungsgesetz beschreibt.

Also a) war ja ziemlich leicht zu errechen hier habe ich:

allerdings verstehe ich nicht so genau wie ich bei nun weiter machen soll bzw wie bei b) der Induktionsanfang lautet

Falls mir hier jemand weiterhelfen könnte wäre ich sehr dankbar

Mfg Oleg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendung rekursiver Folgen
Zitat:
Original von OleggelO
allerdings verstehe ich nicht so genau wie ich bei nun weiter machen soll bzw wie bei b) der Induktionsanfang lautet

Zeige, daß die behauptete Aussage beispielsweise für n=1 gilt. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sogar sagen, Induktionsanfang ist : Da ist einfach nur zu zeigen, dass beim Einsetzen von in Formel auch tatsächlich herauskommt. Augenzwinkern
OleggelO Auf diesen Beitrag antworten »

okay danke für die antworten, da ich ja den Anfangswert selber wählen kann, nehme ich da jetzt einfach mal 100.


was dann ja wieder als Ergebnis geben würde.

Wenn das so richtig ist, ist das ja eigentlich ganz simpel .

Dann hätte ich nur eine frage zu c) ist damit jetzt gemeint ich soll den Grenzwert von
mit z.B ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

... ich soll den Grenzwert von
Ja
mit z.B ? Nein
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@OleggelO

Das "beliebig" hast du wohl falsch aufgefasst: Es bedeutet gerade eben nicht, dass du den Wert willkürlich festlegen darfst, sondern dass die in b),c) zu lösendenTeilaufgaben für jeden möglichen Wert zu betrachten sind, die dieses annehmen kann. Was auch möglich ist, arbeite eben mit den Formeln, wo noch als solches drinsteht statt ein fester Wert dafür! Kann sein, dass du dazu noch irgendwelche Scheuklappen ablegen musst, jetzt ist die Zeit dafür. Augenzwinkern
 
 
OleggelO Auf diesen Beitrag antworten »

achso dann habe ich das wohl wirklich falsch verstanden.

also nehme ich für n = 0

dann müsste es ja :


oder muss ich das mit dem anders machen?
wasisttageslicht? Auf diesen Beitrag antworten »

Das "beliebig" erstreckt sich überwiegend (falls keine andere Angabe!) auf die Zahlen 0 und 1, je nachdem wie die Definition der natürlichen Zahlen erfolgt. Standardmäßig ist es 1, aber man kann, da man es für n+1 beweist, auch 0 benutzen, wenn man z.B. einen Vorteil draus ziehen kann - wie hier der Fall ist.

(Ich bin kein gelernter Mathematiker, sondern nur jemand der nächstes Jahr mit Abitur aus der Anstalt ausbrechen will. Hör also lieber auf HAL etc., wenn die etwas zu meckern haben)

b) Ind.-anfang: Sei n=0.
x0 = (x0-20)*0,8^0 +20 = x0-20+20 = x0 (Haken dahinter)

Ind.-schritt: Sei n>=0.
Ind.-annahme: xn = (x0-20)*0,8^n +20
Zeige: xn+1 = (x0-20)*0,8^n+1 +20

Das geht so:
xn+1= 0,8*xn+4 (Ind.-)==(ann.) = 0,8* [(x0-20)*0,8^n +20] +4
= (x0-20) *0,8^n+1 +16 +4
= (x0-20) * 0,8^n+1 +20 (Haken dahinter und q.e.d oder ein Kästchen ins rechte Eck)

Das Problem ist, dass in der expliziten Darstellung das xn nicht auftaucht, was du für die Induktionsannahme brauchst. Deswegen habe ich die rekursive Darstellung gewählt, aber es bezeichnet ja sowieso das gleiche. Solange du wieder zur expliziten zurückfindest, um der Aufgabenstellung gerecht zu werden...



c) Grenzwert bestimmen:

Also zunächst einmal bietet es sich an zu schauen, was sich überhaupt mit zunehmendem n ändert. Das n steht nur bei der 0,8 als Exponent. Es gilt: an= |q|^n ist für |q| <=1 eine Nullfolge. Also konvergiert der Termabschnitt, der mit 0,8^n multipliziert wird gegen 0. Und was bleibt übrig? Die 20. Wenn du dich vergewissern willst, kann du das mit verschiedenen x0 und (bspw.) n=300 in den Taschenrechner eingeben. Jetzt aber mathematisch:
(ich werde bei lim nicht n -> "unendlich" hinschreiben, das ist selbstverständlich)

lim xn = lim (x0-20)*0,8^n +20
= (x0-20) * 0 +20
= 20

Ich habe bewusst den limes weggelassen, da ich hier den Grenzwert angebe und es nicht mehr nur konvergieren lasse.

d) Interpretation:
Keine Ahnung, such dir irgendein realitätsbezogenes Ereignis aus, bei dem etwas gegen 20 strebt.
(Mathematisch irrelevant) Big Laugh

Ich hoffe es hilft dir wenigstens ein bisschen weiter, hat nämlich ein bisschen gedauert das ganze einzutippen und dabei war ich schon sparsam^^
(Sorry, falls ich dich nicht altersgemäß anspreche (?), bin Schulniveau gewohnt.)
wasisttageslicht? Auf diesen Beitrag antworten »

edit: an = |q|^n ist für |q| < 1 eine Nullfolge, nicht für |q| <= 1.
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