Spur und Determinante durch Eigenwerte ausdrücken

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ehlpem2 Auf diesen Beitrag antworten »
Spur und Determinante durch Eigenwerte ausdrücken
Meine Frage:
"Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und L ? L(V) diagonalisierbar mit Eigenwerten (Lamda_1...Lamda_k) und geometrischen Vielfachheiten (n_1,...n_k). Drücken Sie die Spur(L) und det(L) durch die Eigenwerte von L aus."



Meine Ideen:
Ich weiß dass die Aufgabe schon einige Male hier im Forum gestellt wurde, allerdings habe ich keine Antwort wirklich richtig verstanden.
Was ich bisher weiß:
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(z) = det(zI-A) (Mit I als der Einheitsmatrix) sind die Eigenwerte der Matrix A.
Hab auch schon bei anderen Forenbeiträgen gelesen, das die Determinante der nxn Matrix (also det(zI-A)) über die Leibniz Formel bestimmt wurde. Allerdings konnte ich damit nicht richtig was anfangen.
Bei einem anderen Ansatz den ich gesehen hab, wurde über ähnliche Matrizen und deren Determinante argumentiert.
det(S^-1 A S) = det(S) * det(A) * det(S^-1) = det(SS^-1)*det(A) = det(1I) * det(A) = det(A) = (Lamda_1*...*Lamda_k)
Allerdings kann ich mir den letzten Schritt nicht wirklich klarmachen, da ja dieser zu beweisen ist.
Bin gerade extrem verwirrt. Hoffe jemand kann mir helfen. smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem die diagonalisierbare Matrix diagonalisiert wurde, stehen in der Hauptdiagonale die Eigenwerte, an allen anderen Stellen der Matrix steht 0. Spur und Determinante der diagonalisierten Matrix zu berechnen ist leicht. Spur und Determinante der diagonalisierbaren Matrix stimmen mit Spur und Determinante der diagonalisierten Matrix überein.
 
 
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur und Determinante durch Eigenwerte ausdrücken
Und was deine Gleichungsktte angeht: Fang doch mal so an (Lamda_1*...*Lamda_k)=det(S^-1 A S). Dieses Gleichheitszeichen ist klar, oder?
ehlpem2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur und Determinante durch Eigenwerte ausdrücken
Die Matrix A "Element" M(n,K) ist diagonalisierbar. Das heißt es gibt eine Basis aus Eigenvektoren, aus denen die Matrix S besteht. Matrix S muss dazu invertierbar sein.
Dann gibt es eine Diagonalmatrix D=S^-1 A S die aus den Eigenwerten der Matrix A besteht, welche sich auf der Hauptdiagonalen befinden.

det(D) = Lamda_1 * ... * Lamda_k (Produkt der Hauptdiagonalen)

det(D) = det(S^-1 A S) = det(S^-1) * det(S) * det(A)= det(SS^-1)*det(A) = det(1I) * det(A) = det(A) = (Lamda_1*...*Lamda_k)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine seltsame Art, Gleichungen zu schreiben. Du möchtest beweisen, dass das Produkt aus Eigenwerten ist. Wieso schreibst du dann ? Ganz rechts schreibst du wieder nur die Behauptung, eine Behauptung ist kein Beweis.
Sinnvoll wäre hier . (Das ist der Hinweis von URL, du solltest Hinweise berücksichtigen.)
Ausserdem hast du das Produkt der Eigenwerte falsch. Richtig ist

Für die Spur kannst du benutzen, dass gilt.
ehlpem2 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke für die Mühe smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich alles klar? Möchtest du deine Ergebnisse veröffentlichen und diskutieren, oder ist das jetzt geheim? Viel Mühe war das nicht, wir helfen wo wir können.
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