Diophantische Gleichung

20.06.2019, 10:00

Dopap

Diophantische Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac 1a +\frac1b=\frac {3}{2018}\quad a,b \in \mathbb N^{*} \end{eqnarray*}$

gesucht ist die Lösungsmenge aller Tupel (a,b). Wie geht man so etwas offensiv an?

Ausser $\begin{eqnarray*} 2018=2\cdot 1009 \end{eqnarray*}$ ist mir nix eingefallen.

20.06.2019, 10:29

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RE: diophantische Gleichung
Damit hat man $\begin{eqnarray*} 2\cdot 1009 (a+b)=3ab \end{eqnarray*}$ und jetzt diskutiert man die Fälle $\begin{eqnarray*} a|1009 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a|a+b \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ kann man sich sparen, weil $\begin{eqnarray*} a,b>672 \end{eqnarray*}$ sein muss.

20.06.2019, 11:10

Huggy

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RE: diophantische Gleichung
$\begin{eqnarray*} \{ (a,b) \}=\{(673,1358114),(674 ,340033),(1009 ,2018)\} \end{eqnarray*}$

20.06.2019, 11:51

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RE: diophantische Gleichung
@Huggy: Danke. Ich sollte einfach nicht vor dem Aufwachen posten Forum Kloppe

20.06.2019, 13:04

HAL 9000

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Ein modifizierter Vorschlag: Aus $\begin{eqnarray*} 3ab = 2018(a+b) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} (3a-2018)(3b-2018) = 2018^2 = 2^2\cdot 1009^2 \end{eqnarray*}$

Basierend auf der rechts stehenden Primfaktorzerlegung kann man nun mit $\begin{eqnarray*} 3a-2018 \end{eqnarray*}$ die Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^2\cdot 1009^2 \end{eqnarray*}$ durchgehen, wobei nur die $\begin{eqnarray*} \equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

21.06.2019, 07:56

Dopap

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$\begin{eqnarray*} 3ab=2018~(a+b) \end{eqnarray*}$ war sogar mir klar

und $\begin{eqnarray*} a=\frac {2018b}{3b -2018} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b>672 \end{eqnarray*}$ noch erreichbar, nur bei

Zitat:

Original von HAL 9000
Ein modifizierter Vorschlag: Aus $\begin{eqnarray*} 3ab = 2018(a+b) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} (3a-2018)(3b-2018) = 2018^2 = 2^2\cdot 1009^2 [\cdots] \end{eqnarray*}$

drängt sich mir diese Folgerung nicht gerade in einer Weise auf, wie das ein VORWERK Handlungsreisender tut.
Dazu bedarf es sicher dessen was man den "Blick" nennt.

@URL: verstehe dein "posten vor dem Aufwachen nicht" verwirrt

21.06.2019, 08:40

HAL 9000

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Die Argumentation folgt diesem Muster.

Erinnert vielleicht entfernt an quadratische Ergänzung, nur dass man hier links quasi eine "Produktergänzung" durchführt.

24.06.2019, 07:09

Dopap

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RE: Diophantische Gleichung
guter link!
bei Änderung auf

$\begin{eqnarray*} \frac 1a +\frac1b=\frac {3}{2018}\quad \boxed{a,b \in \mathbb Z^{*}} \end{eqnarray*}$

in wiefern vergrößert das die Lösungsmenge aller Tupel $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ ?

24.06.2019, 10:34

HAL 9000

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Das hier gilt nach wie vor:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} (3a-2018)(3b-2018) = 2018^2 = 2^2\cdot 1009^2 \end{eqnarray*}$

Basierend auf der rechts stehenden Primfaktorzerlegung kann man nun mit $\begin{eqnarray*} 3a-2018 \end{eqnarray*}$ die Teiler von $\begin{eqnarray*} 2^2\cdot 1009^2 \end{eqnarray*}$ durchgehen, wobei nur die $\begin{eqnarray*} \equiv 1\bmod 3 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

Bei natürlichen Zahlen war das die Teilermenge $\begin{eqnarray*} \left\{1,4,1009,4\cdot 1009,1009^2,4\cdot 1009^2\right\} \end{eqnarray*}$ , also 6 Lösungspaare (Huggy hat der Symmetrie wegen ja nur die mit $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ angegeben). Jetzt sind zusätzlich noch die Teiler aus $\begin{eqnarray*} \left\{-2,-2\cdot 1009,-2\cdot 1009^2\right\} \end{eqnarray*}$ zu betrachten: Der mittlere stellt sich via $\begin{eqnarray*} 3a-2018=-2\cdot 1009 \end{eqnarray*}$ allerdings als $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ heraus, das bedeutet Lösung $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 3ab = 2018(a+b) \end{eqnarray*}$ , was aber keine Lösung des Originalproblems ist. Daher kommen nur die beiden $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ -Lösungspaare $\begin{eqnarray*} (672,-678048) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-678048,672) \end{eqnarray*}$ hinzu.

P.S.: Genau genommen hätte man von Anfang an auch die negativen Teiler berücksichtigen müssen, denn Teiler $\begin{eqnarray*} 3a-2018 \end{eqnarray*}$ kann ja durchaus auch bei positiven $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen negativen Wert annehmen. Allerdings ist in diesem Fall der Komplementärteiler $\begin{eqnarray*} 3b-2018 \end{eqnarray*}$ so deutlich negativ, dass auch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ negativ wird, daher war die Vorgehensweise letztendlich dann doch richtig.

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