Lagrange-Multiplikatoren

20.06.2019, 10:53

mikki96

Lagrange-Multiplikatoren

Meine Frage:
Hallo liebe Community

Ich komme bei dieser Aufgabe kein bisschen voran.

Finden Sie alle lokalen und globalen Extremwerte der Funktion

$\begin{eqnarray*} f : K := { x \in \mathbb R ^2 : |x|_{2}^{2} \leq 1 } -> \mathbb R ,<br /> f(x) = 9x_{1}^{2} -4x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f : K := { x \in \mathbb R ^2 : |x|_{2}^{2} \leq 1 } -> \mathbb R ,<br /> f(x) = 9x_{1}^{2} -4x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

Hier sind nochmal die Funktionen, falls es über Latex nicht angezeigt wird. Könnt ihr dann selber in den Editor kopieren und sie sehen.

Meine Ideen:
Meine Idee war erstmal den Gradienten von f zu bestimmen und den Null zu setzten, dann sehe ich schon , dass es eine Nullstelle in (0,0) gibt.
Jetzt waren noch die Extremstellen am Rand K zu bestimmen .

Dafür habe ich einfach auufgestellt

$\begin{eqnarray*} grad \ f = \lambda grad \ g \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} 18x_{1} - 4x_{2} =2 \lambda x_{1} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} 12x_{2} - 4x_{1} = 2 \lambda x_{2} \end{eqnarray*}$

und diese kriege ich kein bisschen gelöst

Falls ihr die Latex sachen nicht seht könnt ihr auf Antworten gehen, diese kopieren und im Formeleditor sehen.

Danke im voraus

Edit (mY+): LaTeX-Tags gesetzt und berichtigt. \lambda so, mit Backslash >> $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und 1 Leerzeichen innerhalb LaTeX mit \

20.06.2019, 13:02

Huggy

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RE: Lagrange Multiplikatoren

Zitat:

Original von mikki96
$\begin{eqnarray*} 18x_{1} - 4x_{2} =2 \lambda x_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 12x_{2} - 4x_{1} = 2 \lambda x_{2} \end{eqnarray*}$

und diese kriege ich kein bisschen gelöst

Wo hakt es denn?
Als 3. Gleichung hast du ja noch die Nebenbedingung. Das ist doch nicht so schwer auflösbar. Wenn man z. B. die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auflöst und das Ergebnis in die 2. Gleichung einsetzt, bekommt man als eine Möglichkeit eine quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

20.06.2019, 15:10

mYthos

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Du kannst auch so vorgehen, wie bereits in diesem Thread beschrieben!

Mit dem Verhältnis $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_2} = \frac 1 2 \ \text (oder = -2) \end{eqnarray*}$ gehst du in die Nebenbedingung! Es kommen sogar die gleichen Lösungen!!
Oder du nimmst den Tipp von Leopold.

mY+

20.06.2019, 15:29

physics96

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RE: Lagrange Multiplikatoren
Danke für eure Hilfe und für den verlinkten Thread.
Der hat mir auch wirklich weitergeholfen.

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Lagrange-Multiplikatoren

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