pdf und cdf für den Abstand vom Kreismittelpunkt

20.06.2019, 11:29

Peter85

pdf und cdf für den Abstand vom Kreismittelpunkt

Meine Frage:
Hallo zusammen,

angenommen ich habe einen Kreis und eine bestimmte Anzahl x an Punkten innerhalb dieses Kreises. Die Punkte sind gleichverteilt über die gesamte Fläche des Kreises.
Ich suche nun die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bzw. die Verteilungsfunktion für den Abstand vom Kreismittelpunkt für einen zufällig gewählten Punkt im Kreis.

Meine Ideen:

Meine erste Annahme war, dass bei gleichverteilten Punkten im Raum der Abstand auch gleich verteilt sein müsste auf dem Interval [o,Radius].
(Ich glaube aber dass das keinen Sinn macht, da der Raum nach außen hin ja größer wird.)

Mein zweiter Ansatz war die Anzahl der Punkte als poisson-verteilt anzunehmen in einem zeit-raum poisson prozess. Für den Abstand würde man dann bei einer exponentialverteilung landen. Diese gilt allerdings nur für den nähesten Punkt. Für zweit-, dritt- oder n- nähesten Punkt landet man dann bei einer Gammaverteilung. Für mein Fall weiß ich allerdings nicht ob ich zweit-, dritt- oder n- nähesten Punkt betrachte.

Ich habe nach langer Internetrecherche leider keine Anwort gefunden und hoffe dass mit hier jemand weiterhelfen kann.

Vielen Dank und liebe Grüße
Peter

20.06.2019, 11:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peter85
Meine erste Annahme war, dass bei gleichverteilten Punkten im Raum der Abstand auch gleich verteilt sein müsste auf dem Interval [o,Radius].
(Ich glaube aber dass das keinen Sinn macht, da der Raum nach außen hin ja größer wird.)

Sei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Kreisradius und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Abstand eines gleichverteilt zufällig in diesem Kreis ausgewähklten Punktes vom Mittelpunkt, dann gilt für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq r \end{eqnarray*}$ für die Verteilungsfunktion

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = P(X\leq x) = \frac{\pi x^2}{\pi r^2} = \frac{x^2}{r^2} \end{eqnarray*}$

mit entsprechender Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_X(x) = F_X'(x) = \frac{2x}{r^2} \end{eqnarray*}$ .

D.h., das ist keineswegs eine stetige Gleichverteilung, die Dichte nimmt linear zu von 0 innen bis hin zum Wert $\begin{eqnarray*} \frac{2}{r} \end{eqnarray*}$ am Kreisrand bei $\begin{eqnarray*} x=r \end{eqnarray*}$ (danach fällt sie natürlich wieder auf 0).

Zitat:

Original von Peter85
angenommen ich habe einen Kreis und eine bestimmte Anzahl x an Punkten innerhalb dieses Kreises. Die Punkte sind gleichverteilt über die gesamte Fläche des Kreises.
Ich suche nun die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bzw. die Verteilungsfunktion für den Abstand vom Kreismittelpunkt für einen zufällig gewählten Punkt im Kreis.

Warum eigentlich so kompliziert betrachtet? Statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Punkte gleichverteilt im Kreis zu betrachten, und dann zufällig einen von denen rauszusuchen, kann man doch gleich nur einen Punkt gleichverteilt im Kreis betrachten - genauso habe ich es ja gerade betrachtet.

Was anderes wäre es, wenn du den Punkt nicht "zufällig" heraussuchst, sondern beispielsweise den der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Punkte, der dem Mittelpunkt am nächsten liegt...

20.06.2019, 14:17

Peter85

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Super, das hilft mir schon mal sehr.
Hast du dir das selber so hergeleitet oder wusstest du es einfach?
Oder hast du vielleicht noch eine Quelle mit der herleitung?

Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe. Freude

20.06.2019, 14:22

HAL 9000

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Die "Quelle" ist meine solide Mathematikerausbildung. Denn das ist hier simple geometrische Wahrscheinlichkeit:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Punkt innerhalb eines Kreises vom Radius $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ um den Mittelpunkt befindet. Dieser Kreis hat die Fläche $\begin{eqnarray*} \pi x^2 \end{eqnarray*}$ , und der Anteil dieser Fläche an der Fläche $\begin{eqnarray*} \pi r^2 \end{eqnarray*}$ des Gesamtkreises ist bei der hier angenommenen Gleichverteilung nun mal die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

20.06.2019, 16:44

Peter85

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Klingt logisch. Danke für die Erklärung.
Ich hätte da gleich noch eine Frage.

Angenommen ich habe zwei Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilungsfunktion:
Eine mit $\begin{eqnarray*} F(x) = 2x/R^2 \end{eqnarray*}$
Eine mit $\begin{eqnarray*} F(y) = 2y/R^2 \end{eqnarray*}$

Beide auf dem Intervall von [0,R].
Wie sieht die Verteilungsfunktion von F(x+y) aus?

Intervall müsste dann ja [0,2R] sein.

Hab im Moment mehrer Ansätze:
$\begin{eqnarray*} F(x+y)=F(z)=z^2/2*(R^2) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} F(x+y)=F(z)=z^2/(2R^2) \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} F(x+y)=F(z)=(z/2)^2/(R^2) \end{eqnarray*}$

20.06.2019, 16:47

Peter85

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Klingt logisch. Danke für die Erklärung.
Ich hätte da gleich noch eine Frage.

Angenommen ich habe zwei Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilungsfunktion:
Eine mit F(x)=x^2/R2
Eine mit F(y)=y^2/R2

Beide auf dem Intervall von [0,R].
Wie sieht die Verteilungsfunktion von F(x+y) aus?

Intervall müsste dann ja [0,2R] sein.
----------
P.S: Konnte meiner vorherigen Post leider nicht editieren.
Das hier ist sind Verteilungsfunktionen, die ich meine.

20.06.2019, 17:05

HAL 9000

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Reden wir hier über Verteilungsfunktion oder Dichte? Weil, $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{R^2} \end{eqnarray*}$ war oben ja die Dichte...

Die Dichte der Summe zweier unabhängiger (!) stetig verteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gewinnt man über ein Faltungsintegral:

$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(t-x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Zu berücksichtigen ist im vorliegenden Fall, dass beide Dichten außerhalb von $\begin{eqnarray*} [0,R] \end{eqnarray*}$ gleich Null sind.

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq R \end{eqnarray*}$ bedeutet das konkret $\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(t) = \int\limits_0^t \frac{2x}{R}\cdot \frac{2(t-x)}{R} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} R<t\leq 2R \end{eqnarray*}$ hingegen $\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(t) = \int\limits_{t-R}^R \frac{2x}{R}\cdot \frac{2(t-x)}{R} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Für alle anderen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{X+Y}(t) = 0 \end{eqnarray*}$ .

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