Koordinatengleichung bestimmen und Winkel

20.06.2019, 14:23

Letti

Koordinatengleichung bestimmen und Winkel

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe leider keine Ahnung wie ich mit der unten stehenden Aufgabe anfangen soll. Es geht um das Erstellen und Beweisen.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht, dass man auf jeden Fall den Normalenvektor mit
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ablesen kann. Jedoch hört es doch auch schon wieder auf.

20.06.2019, 15:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen einer Geraden und einer Ebene ist der Komplementärwinkel (Ergänzung auf 90°) jenes Winkels, den der Normalvektor der Ebene mit der Geraden einschließt.

Also bestimmst du (erstens) den Winkel $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 \end{eqnarray*}$ des Vektors (a; b; c) mit dem Einheitsvektor der x1-Achse (1; 0; 0), zweitens dann $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 \end{eqnarray*}$ mit der x_2-Achse, usw.

Es ist übrigens $\begin{eqnarray*} \cos \epsilon = \sin \varphi \end{eqnarray*}$ ..., also kann der Beweis gleich mit den cos-Werten der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ - Winkel durchgeführt werden.
---------

Hinweis: $\begin{eqnarray*} \cos \epsilon_1 = \frac{\vec n \cdot \vec {e_1}}{|\vec n]|\vec {e_1}|} \end{eqnarray*}$ , usw.

mY+

23.06.2019, 21:57

Letti

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich habe das jetzt einmal für alle Achsen gemacht,

$\begin{eqnarray*} \cos \epsilon_1 = \frac{1a+0b+1c}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} } } \end{eqnarray*}$

Das hätte ich für die erste Achse raus, ist das soweit richtig? Wenn ja, was macht man dann?

23.06.2019, 23:11

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht richtig, denn er Einheitsvektor für die erste Achse lautet (1; 0; 0) !
Warum liest du nicht genau, was man dir schreibt? Und was ist 1a, 0b, 0c weiter?

$\begin{eqnarray*} \cos \epsilon_1 = \frac a {\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \end{eqnarray*}$

Das machst du nun auch für die anderen beiden Achsen und addierst dann alle drei Quadrate.

mY+

24.06.2019, 14:16

Letti

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich hatte leider einen kleinen Schreibfehler.

Wieso müssen die einzelnen denn eigentlich quadriert werden und ergeben 1? Das mit dem addieren ist mir klar.

24.06.2019, 14:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Letti
Wieso müssen die einzelnen denn eigentlich quadriert werden und ergeben 1?

Weil es sich so ergibt: Es ist (s.o.)

$\begin{eqnarray*} \sin(\varphi_1)=\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\; \sin(\varphi_2)=\frac{|b|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\; \sin(\varphi_3)=\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*}$

dann bilde mal

a) die Summe der Sinuswerte und

b) die Summe der Quadrate der Sinuswerte.

Preisfrage: Wo kommt 1 heraus, bei a) oder b) ?

24.06.2019, 18:36

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Letti
...
Wieso müssen die einzelnen denn eigentlich quadriert werden und ergeben 1? ...

Das steht doch so in der Aufgabe/Angabe, und so ist auch dieser Beweis zu führen.

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Koordinatengleichung bestimmen und Winkel

Verwandte Themen