Ermittlung einer Geraden parallel zu zwei Ebenen

20.06.2019, 14:33

Letti

Ermittlung einer Geraden parallel zu zwei Ebenen

Meine Frage:
Hallo Leute,
leider habe ich Probleme eine Aufgabe zu lösen. Es geht darum, eine Gleichung der Geraden k zu ermitteln, welche durch den Punkt B(2/4/6) gehen soll und parallel zu den beiden Ebenen E und F verlaufen soll.

Es geht um eine Teilaufgabe

Meine Ideen:
Die Ebene E lautet

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Ebene F lautet

$\begin{eqnarray*} F: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht, die beiden Ebenengleichungen in Koordinatenform darzustellen, jedoch weiß ich jetzt leider nicht weiter

20.06.2019, 15:17

mYthos

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Bestimme den Richtungsvektor der Schnittgeraden der beiden Ebenen.
Dieser ist gleich dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Normalvektoren* der beiden Ebenen.
Damit kann die gesuchte Gerade mit dem Stützpunkt B ermittelt werden.

Einen Normalvektor auf die Ebene bekommst du mittels Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene.

mY+

[Kontrollergebnisse: n_1 = (2; 1; -2); n_2 = 0; 1; 0; s = (1; 0; 1)]

20.06.2019, 16:30

Letti

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Hallo,
Was ist denn in deinen Kontrollergebnissen s? Ich habe jetzt als Kreuzprodukt (-2/0/-2) rausbekommen. Ist die Gleichung der Geraden dann

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

20.06.2019, 18:28

mYthos

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s ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden, das ist auch dein - richtiges - Kreuzprodukt!
Dieses darfst du aber zu (1; 0; 1) abkürzen, denn die Richtung ändert sich dabei nicht, nur die Länge und Orientierung. Bei der Parameterdarstellung der Geraden ist dies jedoch nicht von Belang.

mY+

21.06.2019, 12:29

andyrue

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RE: Ermittlung einer Geraden parallel zu zwei Ebenen
@Letti

der richtungsvektor der gesuchten geraden muss zu beiden normalenvektoren der ebenen rechtwinklig sein, führt uns zu zwei skalarprodukten.

andy

21.06.2019, 13:35

mYthos

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RE: Ermittlung einer Geraden parallel zu zwei Ebenen

Zitat:

Original von andyrue
...
der richtungsvektor der gesuchten geraden muss zu beiden normalenvektoren der ebenen rechtwinklig sein, ...

Deshalb >> Kreuzprodukt!
Mit zwei Skalarprodukten ist der Richtungsvektor nicht eindeutig bestimmbar, deshalb muss dabei ggf. eine Komponente gewählt werden. Aber die richtige, denn bei $\begin{eqnarray*} x_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ geht dies letal aus ...

mY+

22.06.2019, 13:32

andyrue

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RE: Ermittlung einer Geraden parallel zu zwei Ebenen
@mYthos

Zitat:

Mit zwei Skalarprodukten ist der Richtungsvektor nicht eindeutig bestimmbar

ja, aber hat eine gerade nicht unendlich viele verschiedene richtungsvektoren (die freilich alle ein vielfaches voneinander sind)? mit den beiden skalarprodukten habe ich ein gleichungssystem mit zwei gleichungen und 3 unbekannten (also unendl. viele lösungen), ich fisch mir eine mögliche lösung raus, und schwupp hab ich den richtungsvektor.

aber ich verstehe was du meinst,

andy

22.06.2019, 14:38

mYthos

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Natürlich gibt es unendlich viele linear abhängige Richtungsvektoren. Deshalb kann ja auch (-2; 0; -2) zu (1; 0; 1) abgekürzt werden.
Eben das Herausfischen kann ein zusätzliches Problem darstellen, weil nicht alle Variablen frei wählbar sein müssen.
In diesem Fall ist es $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , denn dieses MUSS 0 sein.
Man kommt aber dabei ohnehin darauf, denn ansonsten ist das Gleichungssystem nicht lösbar.

mY+

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