Konvergentes oder Divergentes Produkt?

21.06.2019, 11:46

Justice

Konvergentes oder Divergentes Produkt?

Hallo Internet!

Ich würde gerne folgende beide Produkte analysieren:

(A)
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

(B)
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+\frac{1}{n} }{n} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich heraus ob diese konvergieren oder divergieren und wenns sie konvergiert, welchen Grenzwert sie erreicht?

Nur eine Fragen von Rechenpower?

21.06.2019, 12:17

HAL 9000

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Folgendes ist hier anwendbar: Im Fall $\begin{eqnarray*} b_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty} (1+b_n) \end{eqnarray*}$ genau dann konvergent, falls die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

(A) $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent, und damit auch das Produkt.

(B) $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent, und damit auch das Produkt.

Im Fall (A) sieht man die Divergenz auch sehr leicht durch die Betrachtung der zugehörigen Partialproduktfolge:

Es ist $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^k \frac{n+1}{n} = k+1 \end{eqnarray*}$ mit offensichtlicher Divergenz für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Justice
welchen Grenzwert sie erreicht?

Das ist schon kniffliger, betrifft natürlich nur (B). Mein CAS sagt, dass der Produktwert dort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Gamma(1-i)\Gamma(1+i)}\approx 3.676 \end{eqnarray*}$ ist, aber erklären kann ich das nicht. Augenzwinkern

21.06.2019, 13:51

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das ist schon kniffliger, betrifft natürlich nur (B). Mein CAS sagt, dass der Produktwert dort $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Gamma(1-i)\Gamma(1+i)}\approx 3.676 \end{eqnarray*}$ ist, aber erklären kann ich das nicht. Augenzwinkern

Man kann das rückwärts aus der Produktdarstellung der Gammafunktion

$\begin{eqnarray*} \Gamma (z)=\frac 1 z \prod\limits_{n=1}^\infty \frac {(1+\frac 1 n)^z}{(1+ \frac z n)} \end{eqnarray*}$

herleiten.

21.06.2019, 13:55

Mathema

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Siehe auch dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_hype...ktentwicklungen

Der Produktwert ist also $\begin{eqnarray*} \frac{\sinh(\pi)}{\pi} \end{eqnarray*}$ .

21.06.2019, 13:59

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Folgendes ist hier anwendbar: Im Fall $\begin{eqnarray*} b_n\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das unendliche Produkt $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^{\infty} (1+b_n) \end{eqnarray*}$ genau dann konvergent, falls die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

(A) $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent, und damit auch das Produkt.

(B) $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ : Hier ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ konvergent, und damit auch das Produkt.

Im Fall (A) sieht man die Divergenz auch sehr leicht durch die Betrachtung der zugehörigen Partialproduktfolge:

Es ist $\begin{eqnarray*} \prod_{n=1}^k \frac{n+1}{n} = k+1 \end{eqnarray*}$ mit offensichtlicher Divergenz für $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Justice
welchen Grenzwert sie erreicht?

Danke! Genau diese Antwort habe ich gesucht!

Gibt es überhaupt eine Erklärung für den Grenztwert? Ist es nur Rechnen.

21.06.2019, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Justice
Gibt es überhaupt eine Erklärung für den Grenztwert?

Ich gehe mal davon aus, dass du die beiden Beiträge von Huggy und Mathema noch nicht mitgekriegt hattest. Augenzwinkern

@Mathema

Danke für die Auffrischung: Die Sinus-Produktdarstellung (und damit auch für sinh) war mir ja eigentlich geläufig, hab hier aber nicht die Verbindung gezogen.

09.07.2019, 15:38

Justice

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Ah ja. Danke an Huggy und Mathema! Gott

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