Umformen von quadratischer Gleichung

21.06.2019, 15:58	Alexnator	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformen von quadratischer Gleichung Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem mit einer quadratischen Gleichung (siehe Anhang). Im Anhang sind zwei verschiedene Gleichungen zu sehen, wobei die obere Gleichung so umgeformt werden soll, damit man die Untere raus bekommt. Die Gleichung stammt zwar aus dem der Physik aber ich denke in diesem Forum kann man mir bestimmt auch weiterhelfen. h= Höhe R= Reichweite, also x g= Fallbeschleunigung (9,81 m/s^2) v= Geschwindigkeit Meine Ideen: Meine Idee ist die Mitternachtsformel oder die pq Formel anzuwenden aber ich komme damit irgendwann nicht mehr weiter.
21.06.2019, 16:17	G210619	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformen von quadratischer Gleichung Nimm die abc-Formel: a= Faktor vor R^2 b= Faktor vor R c= h Bei der Pq-Formel darf vor R^2 kein Faktor mehr stehen. Du müsstest ihn wegdividieren, was hier sehr unangenehm wäre.
21.06.2019, 16:49	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Normierung von $\begin{eqnarray} 0=-\frac{g}{2\|v_0\|^2\cos^2\theta_0}R^2+(\tan\theta_0)R+h \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} 0=R^2+pR+q. \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p = -\frac{2\|v_0\|^2\cos\theta_0\sin\theta_0}{g} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q = -\frac{2h\|v_0\|^2\cos^2\theta_0}{g} \end{eqnarray}$ . Man erhält $\begin{eqnarray} p^2-4q = \left(\frac{2\|v_0\|^2\cos\theta_0\sin\theta_0}{g}\right)^2+\frac{8h\|v_0\|^2\cos^2\theta_0}{g} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{4\|v_0\|^2\cos^2\theta_0}{g^2}\left(\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh\right). \end{eqnarray}$ Die Wurzel davon ist $\begin{eqnarray} \sqrt{p^2-4q} = \frac{2\|v_0\|\cos\theta_0}{g}\sqrt{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh}. \end{eqnarray}$ Die Lösung ist dann $\begin{eqnarray} R = -\frac{p}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{p^2-4q} = \frac{\|v_0\|^2\cos\theta_0\sin\theta_0}{g}+\frac{\|v_0\|\cos\theta_0}{g}\sqrt{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\|v_0\|\cos\theta_0}{g}\left(\|v_0\|\sin\theta_0+\sqrt{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\|v_0\|^2\cos\theta_0\sin\theta_0}{g}\left(1+\frac{1}{\|v_0\|\sin\theta_0}\sqrt{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh}\right). \end{eqnarray}$ Beachte nun $\begin{eqnarray} 2\cos x\sin x = \sin(2x) \end{eqnarray}$ . Das macht dann $\begin{eqnarray} R = \frac{\|v_0\|^2\sin(2\theta_0)}{2g}\left(1+\frac{1}{\|v_0\|\sin\theta_0}\sqrt{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0 + 2gh}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\|v_0\|^2\sin(2\theta_0)}{2g}\left(1+\sqrt{1+\frac{ 2gh}{\|v_0\|^2\sin^2\theta_0}}\right). \end{eqnarray}$

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