Integraloperator im Hilbertraum

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lili1357 Auf diesen Beitrag antworten »
Integraloperator im Hilbertraum
Meine Frage:
X sei beschränkte messbare Teilmenge von R^n und u_i, v_i endliche Folgen von Funktionen aus dem Hilbertraum H=L^2(X,l_n) und u_i unabhängige Folge.
Der Integraloperator: mit dem Kern .
Ich soll nun zeigen, dass Kf im Span von den u_1 ,...,u_N liegt.

Meine Ideen:
Ich muss also eine Linearkombination der u_1,...,u_N finden mit dennen ich Kf darstellen kann.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was ist bei dir l_n?

Auch ohne das zu wissen, ist es doch nur einsetzen und es steht da:

. Wenn das mal keine Linearkombination der ist.
lili1357 Auf diesen Beitrag antworten »

l_n ist glaube ich das Lebesgue Maß. Stimmt das ist wohl direkt ersichtlich. Das Integral ist einfache ein reeller Zahlenwert?
Wie schließe ich daraus, dass der Operator K kompakt ist? Das heisst für jede beschränkt Folge eine konvergente Teilfolge existiert?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild des Operators ist endlich-dimensional. Damit sind beschränkte Mengen relativ kompakt.
lili1357 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das hat mit schonmal geholfen.
Für eine Eigenfunktion f von K soll jetzt gelten, dass diese Eigenfunktion f in U liegt.
Ich kann nicht mal sagen was eine Eigenfunktion ist, da wir es auch nicht definiert haben, kannst du mir da helfen? Ist der Begriff hier als Eigenvektor benutzt worden?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist ein Eigenvektor.
 
 
lili1357 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn f also Eigenfunktion von K ist, dann gilt: Wenn f jetzt in U liegen soll, also in der Linearkombination der u_i gilt aber doch, dass k(x,y) (Kern vom Linearen Operator K) ja schon direkt eine LK der u_i ist. verwirrt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte k eine Linearkombination der u_i sein? Das Argument verstehe ich nicht und es muss, egal wie es aussieht, auch falsch sein.

Diese Aufgabe ist wirklich nicht schwer, schreib dir einfach Mal hin, was es bedeutet, eine Eigenfunktion zu sein und mach dir nochmal klar, dass Kf selbst in U liegt.
lili1357 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu meinem ersten Gedanken, k(x,y) ist doch gerade die Summe über u_i v_i warum also keine LK?
Wenn f Eigenfunktion ist, gilt also bzw. und da Kf in U liegt ist also also auch und wenn man durch Lambda teilt erhalten wir immer noch eine Linearkombination?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du musst nur den Fall, dass Lambda 0 ist, getrennt behandeln.

Edit: mir fällt gerade auf, dass da noch irgendwas fehlt, der Kern von f ist nicht in U enthalten, also stimmt die Aussage für Lambda = 0 nicht.

Zu der anderen Frage: die v_i sind keine Koeffizienten aus dem Grundkörper, daher keine Linearkombination. k liegt doch nicht Mal im gleichen Raum wie U, denn k lebt auf einem Raum der Dimension 2n.
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