Potential und Potentialfunktion

22.06.2019, 14:06

SM!LE

Potential und Potentialfunktion

Guten Tag,

ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe und während ich die Aufgabe löste kamen mir auch noch 1-2 Fragen, die ich mir nicht beantworten konnte.
Ich würde mich wie immer sehr über eure Hilfe freuen und bedanke mich schon mal im Voraus.

Aufgabenstellung

Man zeige, dass auf einem ebenen Gebiet $\begin{eqnarray*} \Omega:=\mathbb{R}^2\backslash \{\underline{0}\} \end{eqnarray*}$ das Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} \underline{F}(x_1,x_2):=-\left(\begin{array}{c}\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}\\ \frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}\end{array}\right) \end{eqnarray*}$

eine Darstellung $\begin{eqnarray*} \underline{F}(\underline{x})=-\nabla\phi(x) \end{eqnarray*}$ als Gradientenfeld erlaubt und bestimme die erzeugende Potentialfunktion $\begin{eqnarray*} \phi:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung

Besitzt $\begin{eqnarray*} \underline{F} \end{eqnarray*}$ ein Potential bzw. ist $\begin{eqnarray*} \underline{F} \end{eqnarray*}$ ein Gradientenfeld?

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2\backslash \{\underline{0}\} \end{eqnarray*}$ ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F_1}{\partial x_2}=\frac{\partial F_2}{\partial x_1} \Rightarrow \underline{F} \end{eqnarray*}$ besitzt ein Potential bzw. ist ein Gradientenfeld.

Berechnung von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \phi(x_1,x_2)=-\int{F_1}~dx_1=-\frac12 ln(x_1^2+x_2^2)+C(x_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}+C_{x_2}(x_2)=-\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2} \Rightarrow C(x_2)=C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(x_1,x_2)=-\frac12 ln(x_1^2+x_2^2)+C \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig ?
Meine Frage an dieser Stelle.
Kann man das ganze formal auch noch einfacher machen bzw gibt es noch einen anderen Weg ?

Des Weiteren würde ich gern wissen, ob man einen genauen Nachweis über das einfach zusammenhängende Gebiet anstellen kann. In der Vorlesung kam nur, dass es im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein Gebiet ohne Loch sein muss.

Vielen Dank für eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen
SM!LE

22.06.2019, 14:15

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ ist nicht einfach zusammenhängend!

Du musst aber auch nicht ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer Potentialfunktion überprüfen, wenn du die Existenz der Potenzialfunktion beweisen kannst, indem du sie hinschreibst. Was du ja auch tust.

Und einfach-zusammenhängend nachzuweisen ist nicht einfach. In der Analysis begnügt man sich häufig mit konvexen Gebieten, welche immer einfach-zusammenhängend sind.

Edit: Du hast einen Vorzeichenfehler. Bei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ hast du ein Minus, sowie bei der Definition einer Potentialfunktion.

22.06.2019, 15:10

SM!LE

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Stimmt ich muss ja alle geschlossenen Kurven auf einen Punkt innerhalb des Gebiets zusammenziehen können und der Nullvektor befindet sich ja nicht in dem Gebiet.

Zitat:

Original von IfindU

Du musst aber auch nicht ein hinreichendes Kriterium für die Existenz einer Potentialfunktion überprüfen, wenn du die Existenz der Potenzialfunktion beweisen kannst, indem du sie hinschreibst. Was du ja auch tust.

Kannst du das etwas näher erläutern?
Da ich eine Potentialfunktion herausbekommen habe hat $\begin{eqnarray*} \underline{F} \end{eqnarray*}$ also doch ein Potential obwohl das Gebiet nicht einfach zusammenhängend ist ? Oder hab ich da was falsch verstanden?

Ich glaube das mit dem negativem Vorzeichen kommt aus der Physik.
Die Potentialfunktion ist ein Maß für die potentielle Energie und die erhöht sich wenn man sich entgegen der wirkenden Kraft bewegt, daher glaube auch das geänderte Vorzeichen.

22.06.2019, 15:21

IfindU

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Du überprüfst, dass das Vektorfeld wirbelfrei sein. Das ist eine unnötige Rechnung, da es die Existenz einer Stammfunktion nur auf einfach-zusammenhängend Gebieten garantiert. Andersrum gibst du spätest $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ an (mit falschem Vorzeichen, das meinte ich mit Vorzeichen); daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ wirbelfre ist.

Sagen wir mal die Aufgabe wäre: Zeigen Sie, dass eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \end{eqnarray*}$ und bestimmen Sie diese.

Nun könnte man lange argumentieren, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ stetig ist, dass $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} f(x)= +\infty \end{eqnarray*}$ . Schlussendlich liefert die Zwischenwertsatz die Existenz des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Nun hat man gezeigt, dass sie existiert aber mehr weiss man nicht. Ausser, dass sie positiv ist.

Alternativ: Man formt um und bestimmt $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ und hat sowohl die Existenz begründet als sofort angegeben.

22.06.2019, 15:34

SM!LE

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Vielen vielen Dank das hat meine Fragen beantwortet.

Nochmal zu dem Vorzeichen.
In meiner Vorlesung wurde folgende Definition verwendet: $\begin{eqnarray*} \underline{F}(\underline{x})=-\nabla\phi(x) \end{eqnarray*}$

Ich hab gerade extra nochmal nachgeschaut.
Der Zusatz an der Stelle war, dass das wohl aus der Physik komme.

22.06.2019, 15:38

IfindU

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Ich glaube dir sofort, dass man es so definiert. Aber dein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ erfüllt stattdessen $\begin{eqnarray*} F(x) = \nabla \phi(x) \end{eqnarray*}$ .

22.06.2019, 15:55

SM!LE

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Ah sorry da hatte ich dich falsch verstanden.

Natürlich ist

$\begin{eqnarray*} -\phi(x_1,x_2)=-\frac12 ln(x_1^2+x_2^2)+C \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \phi(x_1,x_2)=\frac12 ln(x_1^2+x_2^2)+C \end{eqnarray*}$

Vielen Dank nochmal

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