Quadratischer Nichtrest

23.06.2019, 11:40

Südsee

Quadratischer Nichtrest

Meine Frage:
Servus,

ich verstehe " $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ein quadratischer Nichtrest in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ modulo 7" nicht.

Meine Ideen:
Ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ heißt quadratischer (Nicht)Rest bzgl. eines Moduls $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , wenn sie teilfremd sind und (k)ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \equiv x^2 \end{eqnarray*}$ existiert.

Aber mir gelingt es nicht, diese Definition auf obige Anwendung zu übertragen verwirrt

23.06.2019, 13:12

Südsee

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RE: Quadratischer Nichtrest
Ich meinte natürlich

..., wenn sie teilerfremd sind und (k)ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \equiv x^2 \pmod m \end{eqnarray*}$ existiert.

23.06.2019, 13:52

Huggy

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RE: Quadratischer Nichtrest
Die Sache ist einfach. Als Repräsentanten von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7 \end{eqnarray*}$ kann man $\begin{eqnarray*} \{0,1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ nehmen. Diese Zahlen mit Ausnahme der Null quadrierst du mod 7. Alle auftretenden Ergebnisse sind quadratische Reste mod 7. Da 7 eine Primzahl ist, sind ja alle Ergebnisse teilerfremd zu 7. Die Zahlen, die nicht als quadratische Reste auftreten, sind quadratische Nichtreste, wiederum da alle teilerfremd zu 7 sind. So ist z..B.

$\begin{eqnarray*} 3^2 \mod 7 =2 \end{eqnarray*}$

Also ist 2 quadratischer Rest mod 7. Wenn du das für 1 bis 6 machst, findest du, dass 1, 2, 4 quadratische Reste mod 7 sind. 3, 5, 6 sind dagegen quadratische Nichtreste mod 7.

23.06.2019, 15:04

Südsee

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RE: Quadratischer Nichtrest
Danke. Ich versuche das in eigenen Worten zu widerzugeben:

Also ein quadratischer (Nicht)Rest $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist zunächst einmal eine Quadratzahl (z.B. $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ ). Hinzu kommt ein Modul, hier $\begin{eqnarray*} m=7 \end{eqnarray*}$ .

Bzgl. mod 7 hat eine ganze Zahl den Rest 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Nun ist es egal, ob ich z.B. $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ quadriere oder $\begin{eqnarray*} x =\, ...,\, -12,\, -5,\, 9,\, 16,\, 23,\, ... \end{eqnarray*}$ , da die Ergebnisse wieder alle in einer Restklasse sind. Deshalb quadriere ich einfach 0, 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 und erhalte die Reste 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1.

Wenn ich eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ quadriere und dann durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ teile, erhalte ich also die Reste 0, 1, 2 oder 4. Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eines der $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ quadratischer Rest mod 7. Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dagegen eine Quadratzahl mit dem 7er-Rest 3, 5 oder 6 ist, ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ quadratischer Nichtrest mod 7.

Zitat:

Original von Huggy
3, 5, 6 sind dagegen quadratische Nichtreste mod 7.

Aber z.B. $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ ist doch keine Quadratzahl. verwirrt

EDIT: Ah halt: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss, obwohl es "quadratischer (Nicht)Rest" heißt, widersinnigerweise keine Quadratzahl sein. Hm, und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist auch kein Rest, sondern eine ganze Zahl. Wieder einmal eine sehr verunglückte Bezeichnung...

Also ist jetzt einfach jedes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein quadratischer Rest mod 7, wenn es bei Division durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ den Rest 3, 5 oder 6 lässt?

23.06.2019, 15:23

Huggy

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RE: Quadratischer Nichtrest

Zitat:

Original von Südsee
Wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ dagegen eine Quadratzahl mit dem 7er-Rest 3, 5 oder 6 ist, ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ quadratischer Nichtrest mod 7.

Nein!
$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ darf nur nicht als Rest einer Quadratzahl auftreten. Und weil 3, 5, 7 nicht als Reste von Quadratzahlen auftreten, sind es eben quadratische Nichtreste.

Vergiss aber nicht die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ teilerfremd zum Modul (hier 7) sein muss. Das spielt hier keine große Rolle, weil nur die 0 nicht teilerfremd zu 7 ist. Zahlen, die nicht teilerfremd zum Modul sind, werden nicht klassifiziert. Das sind also weder quadratische Reste noch quadratische Nichtreste. Betrachtet man z. B. den Modul 6, so würden die Zahlen 0, 2, 3 ,4 erst gar nicht klassifiziert. Nur für 1 und 5 wäre zu entscheiden, ob sie quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest sind.

23.06.2019, 15:28

Huggy

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RE: Quadratischer Nichtrest

Zitat:

Original von Südsee
Also ist jetzt einfach jedes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein quadratischer Rest mod 7, wenn es bei Division durch $\begin{eqnarray*} 7 \end{eqnarray*}$ den Rest 3, 5 oder 6 lässt?

Was ist denn das für ein unsinniger Satz. Das sind doch gerade quadratische Nichtreste.

23.06.2019, 15:30

Südsee

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RE: Quadratischer Nichtrest
Okay, danke! Bequemerweise betrachten wir nur Primzahlmodule.

Also ist es so: Wenn $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} a = 3,\, 5,\, 7 \end{eqnarray*}$ immer quadratischer Nichtrest mod m, weil 3, 5, 7 niemals Reste von Quadratzahlen sind (es sei denn m ist gerade 3, 5 oder 7). Richtig?

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Was ist denn das für ein unsinniger Satz. Das sind doch gerade quadratische Nichtreste.

stimmt, sorry! smile

23.06.2019, 15:36

Huggy

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RE: Quadratischer Nichtrest

Zitat:

Original von Südsee
Also ist es so: Wenn $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb P \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} a = 3,\, 5,\, 7 \end{eqnarray*}$ immer quadratischer Nichtrest mod m, weil, 5, 7 niemals Reste von Quadratzahlen sind (es sei denn m ist gerade 3, 5 oder 7). Richtig?

Falsch!!!
Wie kommst du auf diese Schnapsidee? Betrachte mal $\begin{eqnarray*} m = 11 \end{eqnarray*}$ . Es ist

$\begin{eqnarray*} 4^2 = 5 \mod 11 \end{eqnarray*}$

Also ist 5 quadratischer Rest bezüglich des Moduls 11.

23.06.2019, 20:27

Südsee

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RE: Quadratischer Nichtrest
Ah sorry, ich hatte jetzt immer mod 7 gerechnet. Jetzt habe ich es verstanden, danke!

Zur Sicherheit:

$\begin{eqnarray*} m = 3 \end{eqnarray*}$ -> 1 ist quadratischer Rest, 2 quadratischer Nichtrest

$\begin{eqnarray*} m = 5 \end{eqnarray*}$ -> 1, 4 sind quadratische Reste, 2, 3 quadratische Nichtreste

$\begin{eqnarray*} m = 11 \end{eqnarray*}$ -> 1, 3, 4, 5, 9 sind quadratische Reste, 2, 6, 7, 8, 10 quadratische Nichtreste

23.06.2019, 20:54

Huggy

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RE: Quadratischer Nichtrest
Alles korrekt!

23.06.2019, 20:56

Südsee

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RE: Quadratischer Nichtrest
Tausend Dank! Freude

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