Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen

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Südsee Auf diesen Beitrag antworten »
Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen
Meine Frage:
Servus,

ich versuche zu zeigen, dass , also die Menge der p-adischen Zahlen, algebraisch nicht abgeschlossen ist.

Meine Ideen:
Dazu muss ich ja für jedes p ein Polynom, z.B. , finden, das über keine Nullstellen besitzt.

Für wähle ich für jeweils einen quadratischen Nichtrest in . Dann erhalte ich z.B. für


Und jetzt verstehe ich folgenden Schritt nicht:

Es gibt kein mit . Warum fängt man hier plötzlich mit Kongruenzen an und warum bin ich jetzt schon fertig mit dem exemplarischen Gegenbeispiel für ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es eine Lösung in ganzen p-adischen Zahlen gäbe, so könnte man dessen Quadrat mod 7 zu einem quadratischen Rest kongruent 3 reduzieren, den es nicht gibt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen
Zitat:
Original von Südsee
Es gibt kein mit . Warum fängt man hier plötzlich mit Kongruenzen an

Das ist doch gerade die Aussage, 3 ist quadratischer Nichtrest mod 7.

Zitat:
und warum bin ich jetzt schon fertig mit dem exemplarischen Gegenbeispiel für ?

siehe Elvis.
Ich nehme aber an, du willst/sollst das für alle Primzahlen beweisen. Dann geht das nicht mit einem Beispiel. Dann muss du zeigen, dass es zu jeder Primzahl quadratische Nichtreste gib. Das ist nicht schwer.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen
Zitat:
Original von Südsee
Für wähle ich für jeweils einen quadratischen Nichtrest in .


Ich möchte an dieser Stelle (wieder einmal) dafür werben, für den Restklassenring nicht die Bezeichnung zu verwenden.
Während die Bezeichnung m.E. schon grundsätzlich für den Ring der ganzen p-adischen Zahlen reserviert sein sollte, kommt man erst recht in Schwierigkeiten, wenn man denn mal tatsächlich - so wie hier - mit p-adischen Zahlen arbeitet.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, den Fehler habe ich übersehen. Man muss streng unterscheiden zwischen den ganzen p-adischen Zahlen und dem Körper . Ich hatte Südsee ja schon gesagt, dass man Algebra studiert haben sollte, bevor man mit Zahlentheorie anfangen kann.
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen
Danke. Entschuldigt, dass ich jetzt erst antworte. Ab jetzt kann ich schnell antworten.

Zitat:
Original von jester.
Ich möchte an dieser Stelle (wieder einmal) dafür werben, für den Restklassenring nicht die Bezeichnung zu verwenden.
Während die Bezeichnung m.E. schon grundsätzlich für den Ring der ganzen p-adischen Zahlen reserviert sein sollte, kommt man erst recht in Schwierigkeiten, wenn man denn mal tatsächlich - so wie hier - mit p-adischen Zahlen arbeitet.

Da hast du recht Freude . ist also die Bezeichnung für die Menge der Restklassen modulo p, also , oder?

Das mit den quadratischen (Nicht)Resten mod p habe ich jetzt denke ich verstanden. Eine ganz ganz wichtige Frage habe ich noch zu oben:



Warum müsste jetzt dann gelten?

Also klar, und sind ja an der dieselbe Stelle („Einerstelle“ sozusagen). Aber warum müsste nicht gelten?

Edit: Hat das etwas mit Überträgen zu tun? verwirrt
 
 
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Qp ist algebraisch nicht abgeschlossen
Also wenn ich die Quadratwurzeln von in berechnen will, gelingt mir das:




Hier musste man Überträge beachten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. erkennt schon der Grundschüler als unlösbar in ganzen Zahlen.
2. ist p-adisch nicht für jedes p lösbar. Was machst du für p=7? Ich verstehe es nicht.
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
1. erkennt schon der Grundschüler als unlösbar in ganzen Zahlen.

Da hast du natürlich recht. Ich gebe mir wirklich sehr viel Mühe beim Verstehen und beim Formulieren hier.

Es ging ursprünglich darum, zu zeigen, dass das Polynom über keine Nullstelle besitzt, wenn ich für einen quadratischen Nichtrest modulo 7 wähle. Das mit dem quadratischen (Nicht)Rest habe ich jetzt verstanden, also dass wenn ich hier z.B. für einen quadratischen Nichtrest wähle...


..., dass dann eben nicht geht (was man ja gerade will, um zu zeigen, dass algebraisch nicht abgeschlossen ist).

Meine Frage war/ist, warum man jetzt plötzlich macht und nicht etwa .

Also warum Kongruenzen und nicht Gleichheit? Kannst du mir da weiterhelfen?


Edit: Und ich meinte "Also wenn ich die Quadratwurzeln von in berechnen will, gelingt mir das", sorry. Das ist jetzt aber nicht wichtig. Es geht mir darum, warum Kongruenzen und nicht Gleichheit?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichheit geht gar nicht. Wie soll denn mit einer ganzen Zahl x sein ? Kongruenzen sind eine ganz andere Welt. Die Hälfte aller Zahlen kleiner p sind quadratische Reste mod p, das heißt aber nicht, dass man daraus ganzzahlige Wurzeln ziehen kann.
Noch mal z. B. , also nach Hensel in , und wegen ist offenbar
p-adische Zahlen sind nichts anderes als formale Potenzreihen in p und nichts anderes als geeignete Folgen von Kongruenzen modulo p^n. Es tut mir wirklich leid, aber du musst verstehen, was p-adische Zahlen sind, bevor du damit arbeiten kannst.
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis für deine Geduld.

Dass p-adische Zahlen formale Potenzreihen sind, habe ich verstanden. Für das Proseminar war übrigens nur (Besuch von) Ana II Voraussetzung geschockt .

Dass p-adische Zahlen geeignete Folgen von Kongruenzen modulo sind, kann ich mir nicht ganz vorstellen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, Proseminar, das ist nicht so grundsätzlich wichtig wie eine Vorlesung. Ein Proseminar dient der Vorbereitung auf spätere Seminare und vermittelt zusätzliche Kenntnisse und Fähigkeiten. Da kann man methodisch und inhaltlich lernen und nicht viel falsch machen.

p-adische Zahlen sind auch konvergente Reihen, also nach Ana I (!) Grenzwerte von Folgen von Partialsummen. Konvergenz ist hier bezogen auf die p-adische Metrik, und da konvergieren die formal definierten Reihen immer. p-adische Zahlen sind nicht beliebige Folgen sondern müssen unendlich vielen Kongruenzen mod p^n genügen.

Genau wie bei reellen Zahlen kann man die Körper der p-adischen Zahlen auf verschiedene Arten definieren, erforschen und benutzen. Analytische Zugänge zu p-adischen Zahlen sind genau so sinnvoll und wichtig wie algebraische oder sonstige mathematische Zugänge.

Dringende Empfehlung: Besorge dir schnellstmöglich ein Buch mit einer leicht verständlichen Einführung in die p-adischen Zahlen. Ohne solide Wissensbasis kommst du nie zum Ziel.
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis.

Zitat:
Original von Elvis
p-adische Zahlen sind nicht beliebige Folgen sondern müssen unendlich vielen Kongruenzen mod p^n genügen.

In anderen Worten formuliert: Wenn eine Folge von Partialsummen ist, dann muss gelten, damit der Grenzwert von eine p-adische Zahl ist, oder? Die Folge ist eine Cauchyfolge bzgl. des p-adischen Absolutbetrags.


Eine andere Frage, die ich mir mal gestellt habe: Ist oder sind sie isomorph?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bei den Kongruenzen liegst du permanent daneben. Da hilft wirklich nur ein gründliches Studium der Definitionen in der einschlägigen Literatur.

Reelle Zahlen und p-adische Zahlkörper sind Erweiterungskoerper der rationalen Zahlen. Die reellen Zahlen sind ebenso wie die p-adischen Zahlen vollständig, d.h. jede Cauchyfolge konvergiert. Reelle Zahlen sind archimedisch, p-adische Zahlen sind ultrametrisch, also topologisch völlig unterschiedlich. Es gibt keinen Körperisomorphismus zwischen reellen Zahlen und p-adischen Zahlen oder auch nur zwischen p-adischen Zahlen zu verschiedenen Primzahlen. Das sind abzählbar viele ganz unterschiedliche Zahlkörper.

Der algebraische Abschluss der reellen Zahlen sind die vollständigen komplexen Zahlen. Die algebraischen Abschlüsse der p-adischen Zahlen sind nicht vollständig, deren Vervollständigungen sind nicht algebraisch abgeschlossen, aber eine Stufe höher kommt man zu den unendlich vielen vollständigen algebraisch abgeschlossenen Zahlkörpern .

Alle paarweise verschieden und mit komplexen Zahlen nicht vergleichbar, weder topologisch noch algebraisch, nicht homöomorph und auch nicht isomorph. Wenn es den Begriff "dismorph" noch nicht gibt, müsste man ihn erfinden und hierauf anwenden Augenzwinkern
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Die algebraischen Abschlüsse der p-adischen Zahlen sind nicht vollständig, deren Vervollständigungen sind nicht algebraisch abgeschlossen, aber eine Stufe höher kommt man zu den unendlich vielen vollständigen algebraisch abgeschlossenen Zahlkörpern .


Im Bezug auf das Fettgedruckte: das ist nicht richtig. Vervollständigungen der algebraischen Abschlüsse von sind algebraisch abgeschlossen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei weitere kurze Anmerkungen: (1) Üblicherweise bezeichnet man die Vervollständigung von mit , während mit ein anderer Körper bezeichnet wird (spherical completion), vgl. https://mathoverflow.net/a/51919/35394

(2) Der Begriff "Zahlkörper" ist typischerweise für endliche Erweiterungen von bestimmt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist der algebraische Abschluss von . Wenn man vervollständigt und noch einmal algebraisch abschließt, kommt man zu .
Endlich(dimensional)e Erweiterungen der rationalen Zahlen nennt man algebraische Zahlkörper, auch die angesprochenen reelle, komplexe und p-adische Erweiterungen der rationalen Zahlen nennt man Zahlkörper. Für mich ist alles Zahl, was die rationalen Zahlen umfasst und nicht Funktion ist.
Darüber gibt es dann noch Funktionenkoerper, so wie es auch über endlichen Körpern Funktionenkoerper gibt, die man in der Zahlentheorie analog zu algebraischen Zahlkörpern studieren kann.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Kann sein, dass das in irgendeinem Buch so benannt ist, aber ist - wie jester. gesagt hat - die Standard-Notation für die Vervollständigung von . Selbst Wikipedia bietet die Notationen und für die Vervollständigung von an, aber nicht für .

Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass nach der erneuten Vervollständigung von ein vollständiger, algebraisch abgeschlossener Körper (wie auch immer man ihn bezeichnen mag) herauskommt. Das war ja der ursprüngliche Punkt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht. Anscheinend irrt hier Wikipedia.
KeinGastMehr Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gib mir ein nicht-konstantes Polynom in der Vervollständigung von an, das keine Nullstelle hat.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das fällt mir momentan schwer, weil ich Urlaub mache. Sobald ich wieder auf meine Bibliothek zugreifen kann, melde ich mich wieder.
Nachtrag : Da ich z. Zt. nichts finden kann, was meine Darstellung unterstützt, kann ich nicht ausschließen, dass ihr recht habt und ich auf dem Holzweg bin. Was sagt Alain M. Robert "A Course in p-adic Analysis"?
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »

Da habe ich ein Fachgespräch auf hohem Niveau ausgelöst. Nächstes Semester besuche ich eine Algebra-Vorlesung. Dann verstehe ich das sicherlich besser.

Danke euch!

Zitat:
Bei den Kongruenzen liegst du permanent daneben. Da hilft wirklich nur ein gründliches Studium der Definitionen in der einschlägigen Literatur.

Und auch nach Studium des voran gegangenen Buchtextes verstehe ich es immer noch nicht so ganz verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »



Wenn ich mich wieder vertan habe, kühle ich mich erst einmal ausgiebig im Meer ab. Ach was, das mach ich jetzt auf jeden Fall. Big Laugh
Südsee Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus verwirrt

An welchem Meer bist du denn? smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Urlaub ist zu Ende und ich habe meine Bücher wieder. Jester und KeinGastMehr haben wieder einmal recht.
sind die Erweiterungen vollständiger Abschluß von , algebraischer Abschluß von , vollständiger Abschluß von . ist algebraisch abgeschlossen und ist sphärisch vollständig.
Und dann sind erstaunlicherweise auch noch und isomorph !

Danke Gott Das Kapitel 3. "Construction of Universal p-adic Fields" bei Alain M. Robert muss ich mir noch einmal reinziehen. Die Jahre haben da wohl etwas Wissen erodiert; ich glaube nicht, dass es an der Hitze liegt, denn ich kann mich erinnern, dass ich den Zusammenhang schon vor einigen Monaten einem Kollegen falsch dargestellt habe. Ich hatte damals auch kein gutes Gefühl dabei, wollte aber möglichst schnell zu den Funktionen kommen und habe vielleicht deshalb in den Grundlagen gepfuscht. Hammer
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