Beweis Hensel'sches Lemma

23.06.2019, 21:19	Südsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Hensel'sches Lemma Meine Frage: Servus, sorry, dass ich eine dritte Frage stelle. Ich habe u.a. durch Krankheit mein Mathestudium nach dem 2. Semester für 4 1/2 Jahre unterbrochen und versuche wieder Fuß zu fassen. Hensel'sches Lemma: Sei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein Polynom mit ganzzahligen p-adischen Koeffizienten und $\begin{eqnarray} F' \end{eqnarray}$ die Ableitung. Gibt es ein $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(\alpha ) \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F'(\alpha ) \not \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray}$ , dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\begin{eqnarray} a\in \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(a) \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \equiv \alpha \pmod p \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Was man ja versucht, ist, eine Wurzel $\begin{eqnarray} a\in \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ zu finden, indem man eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ konstruiert, die gegen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ konvergiert. Diese Folge soll $\begin{eqnarray} f(a_n) \equiv 0 \pmod {p^n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_n \equiv a_{n+1} \pmod {p^n} \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ erfüllen. Ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man darauf kommt. Warum genau eine solche Folge?
23.06.2019, 21:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man konstruiert genau eine solche Folge, weil genau diese Folgen ganze p-adische Zahlen sind.
23.06.2019, 22:09	Südsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Okay... da musst du mir noch etwas helfen. Wenn die Glieder $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ einer Folge die Ziffern einer ganze p-adische Zahl sein sollen, muss doch aber lediglich $\begin{eqnarray} a_n\in \{0,\, 1,\, ..., \, p-1\} \end{eqnarray}$ gelten, oder? Und muss ich dann nicht bei $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ anfangen anstatt bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ , weil die p-adische Entwicklung einer ganzen p-adischen Zahl ja $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{\infty} a_ip^i \end{eqnarray}$ ist?
23.06.2019, 22:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt unterschiedliche Definitionen und Darstellungen p-adischer Zahlen. Das kann ich unmöglich alles erklären. Du musst in dem Buch nachlesen, das du studierst, und wenn du etwas nicht verstehst musst du ein paar Kapitel zurück gehen. Kann es sein, dass du im Studium noch nicht weit genug fortgeschritten bist, um p-adische Zahlen zu studieren? Man sollte das Grundstudium und das Studium der Algebra erfolgreich abgeschlossen haben, bevor man sich an die Zahlentheorie macht.
23.06.2019, 22:26	Südsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe nicht... Der Dozent meinte, das dürfte schon machbar sein. Aber ich werde nochmal etwas zurück blättern. Danke jedenfalls für deine Hilfe.
24.06.2019, 06:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} a_n\in\{0,..., p-1\} \end{eqnarray}$ sind manchmal die Ziffern der formalen Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=0} ^{\infty} a_np^n\in\mathbb Z_p \end{eqnarray}$ gemeint, manchmal aber auch die Partialsummen $\begin{eqnarray} \sum_0^na_kp^k \end{eqnarray}$ des projektiven Limes $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ für die $\begin{eqnarray} a_n\equiv a_{n+1}\mod p^n \end{eqnarray}$ gilt. Von solchen Kleinigkeiten darf man sich nicht verwirren lassen.
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29.06.2019, 16:27	Südsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Passiert mir öfters, dass ich mich durch Kleinigkeiten verwirren lasse... Ich habe mittlerweile Hensels Lemma mitsamt des Beweises verstanden mit einer Ausnahme: Könnt ihr mir bitte helfen zu zeigen, dass aus $\begin{eqnarray} f(a_n) \equiv 0 \pmod {p^n} \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \|f(a_n)\|_p=0 \end{eqnarray}$ , also die Folgenglieder wirklich gegen die Nullstelle von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergieren? Wäre total super...
29.06.2019, 21:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es nichts mehr zu beweisen. Der p-Betrag einer Zahl ist umso kleiner je höher die p-Potenz ist, die die Zahl teilt.

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