Laplace-Gleichung Lösungen bestimmen |
23.06.2019, 23:42 | Misko23 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Laplace-Gleichung Lösungen bestimmen Hallo hab die folgende Aufgabe. Hat jmd ne Idee wie ich hier anfangen könnte? Meine Ideen: Ist f*(re^t) gemeint oder f von (re^t)?? |
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24.06.2019, 10:23 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich benenne eine Variable mal um gemäß , so dass die mit r² multiplizierte 2D-Laplacegleichung wie üblich lautet ________________(1) Da die Funktion u nur von dem Produkt abhängen soll, gilt gemäß Ketteregel für die 1.Ableitungen von u nach r bzw. nach Einsetzen dieser beiden Ableitungen in die obige Laplacegleichung (1) liefert ______________(2) Darin berechnen wir mittels Kettenregel die Ableitungen der Klammern nach r bzw. nach Einsetzen dieser Ableitungen in die Laplacegleichung (2) liefert mit Damit reduziert sich die ursprüngliche (partielle) Laplacegleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Funktion u(a). |
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25.06.2019, 12:51 | misko23 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ehos ich habe mir das angeschaut was du gemacht hast. Ich bin wie folgt vorgegangen ( ich denke das ist das selbe was du gemacht hast): Wir haben in der Übung gezeigt das für den Laplace Operator in Polar Koordinaten folgende Darstellung gilt: . In der Aufgabenstellung ist nun . Nun gilt mit der Kettenregel: - - - - Einsetzen in die Formel ergibt: . Multiplizieren wir das nun mit r^2 ergibt sich: Also gleich Die Lösung dieser DGL ist: 1 NS lambda=0 2NS =lambda=-1/2 Somit folgt für die Lösung: f(a)= c0+ e^(-1/2 *a) +c1 passt das so ? |
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25.06.2019, 12:57 | misko23 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ups.. Die zweite NS ist Somit ist die Lösung: stimmt das |
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26.06.2019, 09:16 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Unsere Umformungen sind identisch bis zur Gleichung Danach hast du irgend etwas falsch gemacht. Ich nehme an, dass du mit dem Ansatz gerechnet hast. Dieser Ansatz funktioniert aber nur bei Differentialgleichungen mit konstanten Koeffinzienten. In unserem Fall sind die Koeffizieneten a und a² aber variabel. Division der obigen Gleichung durch 2a ergibt mit der Substitution eine Gleichung 1.Ordung für die neue Funktion F(a) Umformen liefert Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Stammfunktion, ergibt sich Weglassen von ln(...) liefert also Nun machen wir die obige Substitution rückgängig, indem wir auf beiden Seiten die Stammfunktion bilden, also Einsetzen der obigen Lösung F(a) liefert Dabei sind C, D Integrationskonstanten. Gemäß der ursprünglichen Aufgabe war . Also lautet die Lösung der Laplacegleichung |
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26.06.2019, 22:16 | Misko23 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja hab mein Fehler später auch gesehen. Danke Hat wirklich Spaß gemacht mit dir. |
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