Laplace-Gleichung Lösungen bestimmen

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Misko23 Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung Lösungen bestimmen
Meine Frage:
Hallo hab die folgende Aufgabe.
Hat jmd ne Idee wie ich hier anfangen könnte?

Meine Ideen:
Ist f*(re^t) gemeint oder f von (re^t)??
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich benenne eine Variable mal um gemäß , so dass die mit r² multiplizierte 2D-Laplacegleichung wie üblich lautet

________________(1)

Da die Funktion u nur von dem Produkt abhängen soll, gilt gemäß Ketteregel für die 1.Ableitungen von u nach r bzw. nach





Einsetzen dieser beiden Ableitungen in die obige Laplacegleichung (1) liefert

______________(2)

Darin berechnen wir mittels Kettenregel die Ableitungen der Klammern nach r bzw. nach





Einsetzen dieser Ableitungen in die Laplacegleichung (2) liefert mit



Damit reduziert sich die ursprüngliche (partielle) Laplacegleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Funktion u(a).
misko23 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos ich habe mir das angeschaut was du gemacht hast. Ich bin wie folgt vorgegangen ( ich denke das ist das selbe was du gemacht hast):

Wir haben in der Übung gezeigt das für den Laplace Operator in Polar Koordinaten folgende Darstellung gilt:

.

In der Aufgabenstellung ist nun

.

Nun gilt mit der Kettenregel:

-

-

-

-


Einsetzen in die Formel ergibt:


.

Multiplizieren wir das nun mit r^2 ergibt sich:




Also gleich




Die Lösung dieser DGL ist:







1 NS lambda=0

2NS =lambda=-1/2


Somit folgt für die Lösung:

f(a)= c0+ e^(-1/2 *a) +c1


passt das so ?
misko23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups..

Die zweite NS ist





Somit ist die Lösung:


stimmt das verwirrt
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Umformungen sind identisch bis zur Gleichung



Danach hast du irgend etwas falsch gemacht. Ich nehme an, dass du mit dem Ansatz gerechnet hast. Dieser Ansatz funktioniert aber nur bei Differentialgleichungen mit konstanten Koeffinzienten. In unserem Fall sind die Koeffizieneten a und a² aber variabel.

Division der obigen Gleichung durch 2a ergibt mit der Substitution eine Gleichung 1.Ordung für die neue Funktion F(a)



Umformen liefert



Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die Stammfunktion, ergibt sich



Weglassen von ln(...) liefert also



Nun machen wir die obige Substitution rückgängig, indem wir auf beiden Seiten die Stammfunktion bilden, also



Einsetzen der obigen Lösung F(a) liefert



Dabei sind C, D Integrationskonstanten. Gemäß der ursprünglichen Aufgabe war . Also lautet die Lösung der Laplacegleichung

Misko23 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hab mein Fehler später auch gesehen. Danke Hat wirklich Spaß gemacht mit dir. smile
 
 
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