Uneigentliches Integral

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Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral
Hallo,
ich möchte folgendes Integral berechnen:


Ich weis, dass

Kann ich obiges Integral auf dieses geschickt zurückführen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Schreibweise schwierig festzustellen, wo das Kosinusargument endet - meinst du womöglich ? verwirrt


Und dabei sowie irgendwelche (nicht näher bestimmten) Parameter?
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das meine ich HAL. Tut mir leid.
Egtl geht es um das Doppelintegral:
D.h y variert zwischen 0 und unendlich. Wenn ich das rechte Integral habe, wäre ich ja so gut wie fertig.
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

k soll größer 0 sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , damit kann man zerlegen



Bei der Auswertung kann man geeignet substituieren (für ) sowie (für ). Aber Obacht bei den Integralgrenzen - insgesamt muss man hier höllisch aufpassen, was die Parameterkombinationen betrifft...
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Ich bin mir nicht ganz sicher. Wenn ich das erste Teilintegral berechnen will, erhalte ich:



Ok das geht ja. Aber wo muss ich jetzt genau aufpassen mit dem Paar(k,j)
 
 
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Faktor vergessen. Tut mir leid.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Transformation der Integralgrenzen unter Substitution solltest du aufpassen:

Im Fall wird aus ja .

Aber im Fall wird aus dagegen . Entsprechend geht es in diesem letzteren Fall dann um

,

d.h. das Vorzeichen dreht sich um. Und für kommt gar Integralwert 0 heraus - wobei dich dieser einzelne Punkt wahrscheinlich nicht interessiert, da du noch eine -Integration nachschaltest.
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Aber da y zwischen 0 und unendlich liegt, können ja beide Fälle auftreten, also unterschiedliche Vorzeichen auftreten oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eben, deswegen ja: Aufpassen!
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie soll ich dann weiterrechnen. Ich hätte ja im Fall y>k insgesamt den Wert Im Fall y<k hätte ich imsgesamt 0. Muss ich also mein Doppelintegral in Abhängigkeit von k berechnen. Dann müsste meine untere Grenze von meinem 2. äußeren Integral von k anfangen. Meinst du das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, warum sollte das Integral denn auch nicht von abhängen?
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne ne es hängt schon k ab. Ich habe nur überlegt. Es gäbe noch eine Frage zu folgendem:
Ursprünglich ging es um folgendes Integral:



Wenn ich verwende , dann komme ich auf:

Jetzt muss ich nur noch argumentieren, dass ich den sin-Ausdruck in das Integral nach x ziehen darf. Vllt kann ich den Satz von Fubini und Tonelli verwenden. Die Integranden sind ja stetig oder stetig ergänzbar, also messbar. Wähle dann als Produktsigmaalgebra: Was muss ich noch zeigen jetzt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einmal so gerechnet.

Man vertauscht zunächst die Integrationsgrenzen:



Ein bekanntes Vorgehen zur Berechnung von : zweimal partiell integrieren, so daß man eine Gleichung für erhält, die man nach auflösen kann:



Das oben eingesetzt ergibt



Zuletzt habe ich substituiert. Für das letzte Integral gibt es eine Formel, die man mit dem Residuensatz erhält:



Hierbei ist das Residuum von am in der oberen Halbebene liegenden Pol . Mit der Zerlegung



findet man



Damit stellt sich das komplexwertige Integral als rein reell heraus, muß also mit seinem Realteil übereinstimmen, was auf den Cosinus führt. Wegen der Symmetrie darf man halbieren und erhält schließlich, wenn man alles zusammensetzt:



Ich garantiere für nichts. Aber das könnte stimmen. Ich habe vorausgesetzt.
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Leopold. Ich bin ja genau umgekehrt vorgegangen. Ich habe mein einfaches Integral mit deinem I(x) ersetzt. Ich hätte vllt gleich die Aufgabenstellung hinschreiben sollen. Wenn ich dann weiterrechne komme ich auf das gleiche Ergebnis, wie du. Die Frage war dann bei mir nur noch, warum die Integrationsreihenfolge vertauschen darf. Da habe ich an Fubini Tonelli gedacht, aber ich bin nicht ganz sicher, wie ich diesen Satz mit seinen Voraussetzungen anwenden kann.

Das mit dem Residuensatz ist wsl eh die bessere Idee smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold

Bei dem Ergebnis wäre Simon321 auch angekommen, wenn er nicht oben die Bemühungen (durch Verzettelung/Ablenkung) eingestellt hätte. Vielleicht hat er ja auch zuende gerechnet, war oben allerdings nicht erkennbar.
Simon321 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simon321
Es gäbe noch eine Frage zu folgendem:
Ursprünglich ging es um folgendes Integral:



Wenn ich verwende , dann komme ich auf:

Jetzt muss ich nur noch argumentieren, dass ich den sin-Ausdruck in das Integral nach x ziehen darf. Vllt kann ich den Satz von Fubini und Tonelli verwenden. Die Integranden sind ja stetig oder stetig ergänzbar, also messbar. Wähle dann als Produktsigmaalgebra: Was muss ich noch zeigen jetzt?


Ist das der richtige Satz, um die Aussage zu zeigen?
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