Positiver und negativer Teil und Stetigkeit

24.06.2019, 20:16	KoenigVonAugsburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Positiver und negativer Teil und Stetigkeit Hallo, ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe, Teilaufgabe b. Die Aufgabe hat den Titel: Positiver\negativer Teil. Zu $\begin{align} D \subset \mathbb R, f : D \rightarrow \mathbb R \end{align}$ definiert man: $\begin{align} f_+ : D \rightarrow \mathbb R, \forall x \in D : (f(x)\geq 0 \Rightarrow f_+(x) = f(x) )\wedge(f(x)<0 \Rightarrow f_+=0) \end{align}$ $\begin{align} f_- : D \rightarrow \mathbb R, \forall x \in D : (f(x) \geq 0 \Rightarrow f_-(x) = 0) \wedge (f(x)<0 \Rightarrow f_-(x)=-f(x)) \end{align}$ a) Man Zeige $\begin{align} f = f_+ - f_- \end{align}$ und $\begin{align} \|f\| = f_+ + f_- \end{align}$ Diese Teilaufgabe war einfach, die habe ich. b) f ist stetig in $\begin{align} x_0 \Leftrightarrow (f_+ \end{align}$ ist stetig in $\begin{align} x_0) \wedge (f_- \end{align}$ ist stetig in $\begin{align} x_0) \end{align}$ Bei dieser Aufgabe b habe ich Probleme: Für den Fall, fass $\begin{align} f(x) \geq 0 \end{align}$ habe ich folgendes versucht: Beweis: $\begin{align} ,,\Rightarrow`` \end{align}$ Sei f(x) stetig in $\begin{align} x_0 \end{align}$ . z.Z: ( $\begin{align} f_+,f_- \end{align}$ sind stetig in $\begin{align} x_0 \end{align}$ ) Es gilt: $\begin{align} f(x) = f(x)_+ \end{align}$ und $\begin{align} f(x)_- \end{align}$ = 0 $\begin{align} \forall x \in D \end{align}$ Da f in $\begin{align} x_0 \end{align}$ stetig, gilt für jede Folge $\begin{align} (x_n)_{n \in \mathbb N} \rightarrow x_0: \end{align}$ $\begin{align} \lim_{n \to \infty}(f(x_n)) = \lim_{n \to \infty}(f(x)_+) = f(x_0) = f(x_0)_+ \end{align}$ und $\begin{align} \lim_{n \to \infty}(f(x_n)_-) = 0 \end{align}$ $\begin{align} ,,\Leftarrow`` \end{align}$ (Sei $\begin{align} f_+,f_- \end{align}$ stetig in $\begin{align} x_0 \end{align}$ ): z.Z ( $\begin{align} f(x) \end{align}$ ist stetig in $\begin{align} x_0 \end{align}$ ) Da $\begin{align} f_-,f_+ \end{align}$ in $\begin{align} x_0 \end{align}$ stetig gilt für jede Folge $\begin{align} (x_n)_{n \in \mathbb N} \rightarrow x_0: \end{align}$ $\begin{align} \lim_{n \to \infty}(f(x_n)_+ - f(x_n)_-) = f(x_0)_+ - f(x_0)_- = f(x_0)_+ = f(x_0) =\lim_{n \to \infty}(f(x_n)))) \end{align}$ Total falsch, oder noch doch mit ein paar Modifikationen valide? Danke!
24.06.2019, 21:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Positiver und negativer Teil und Stetigkeit Das erscheint mit zu umständlich. Ist f stetig, dann auch $\begin{eqnarray} \|f\| \end{eqnarray}$ und jetzt benutze die Ergebnisse von Teil a) Edit: Mir scheint, du hast die Funktionen $\begin{eqnarray} f_+ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_- \end{eqnarray}$ nicht ganz erfasst. Vielleicht hift folgende Schreibweise $\begin{eqnarray} f_+=\max(f,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_-=\min(f,0) \end{eqnarray}$
24.06.2019, 23:12	KoenigVonAugsburg	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ja scheint mir als hätte ich das ganze doch nicht richtig verstanden. Aus der a) kann man ja folgendes herleiten: $\begin{align} f_+ = \frac{\|f\| + f}{2} \end{align}$ und $\begin{align} f_- = \frac{\|f\| - f}{2} \end{align}$ Wenn f stetig dann ist \|f\| stetig und $\begin{align} \|f\| = f_+ + f_- = \frac{\|f\| + f}{2} + \frac{\|f\| - f}{2} = \|f\| \end{align}$ . Und das besagt, dass die Summanden auch stetig sein müssen? Aus dieser Definition konnte ich bisscher aber keine Schlüsse ziehen: $\begin{align} f_+(x) = max(f(x),0) = \begin{cases}f(x) \,\,\, für\, f(x) >0\\0\,\,\, sonst\end{cases} \end{align}$ $\begin{align} f_-(x) = -min(f(x),0) = \begin{cases}-f(x) \,\,\, für\, f(x) <0\\0\,\,\, sonst\end{cases} \end{align}$ Ich verstehe auch nicht wie mir das helfen könnte. Also irgendwie verstehe ich noch weniger was ich das machen soll. Angenommen ich zeige jetzt das aus der Stetigkeit von f die Stetigkeit von f+ und f- folgt. Wie zeige ich dann die umgekehrte Implikation davon?
25.06.2019, 00:23	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn f stetig, dann ist auch \|f\| stetig, dann also auch $\begin{eqnarray} f_+=\frac{f+\|f\|}{2} \end{eqnarray}$ als Summe zweier stetiger Funktionen. Fertig. Genauso für $\begin{eqnarray} f_- \end{eqnarray}$ . Die Beschreibung mit max und min sollte dir nur helfen, die Funktionen besser zu verstehen. Da steckt nichts neues dahinter. Ich finde die Beschreibung einfacher zu verstehen als die Fallunterscheidung. Wenn $\begin{eqnarray} f_+ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_- \end{eqnarray}$ stetig sind, dann doch auch $\begin{eqnarray} f=f_++f_- \end{eqnarray}$ , wieder weil Summe stetiger Funktionen.

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