Gebrochenrationale Funktionen

25.06.2019, 11:38	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebrochenrationale Funktionen Guten Tag, Ich soll diese Aufgabe lösen komme aber irgendwie nicht weiter: Zu folgender Funktion : $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{2x^4-2x^3-20x^3+8x+48}{x^3+x^2-4x-4} \end{eqnarray}$ soll ich: Nullstellen, Definitionslücken, Pole, Asymptoten und den Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen. Ich habe hierbei mit den Nullstellen angefangen. Also erst einmal in diese Funktion eine unecht gebrochenrationale Funktion da Zählergrad > Nennergrad. Also erstes werden Z(x) und N(x) in Linearfaktoren zerlegt: Für die Nennernullstellen habe ich $\begin{eqnarray} x_{1}= 2, x_{2}=-2, x_{3}=-1 \end{eqnarray}$ Bei den Zählernullstellen habe ich $\begin{eqnarray} x_{1}= 2, x_{2}=-2, x_{3}=3 \end{eqnarray}$ Allerdings weis ich jetzt nicht wirklich weiter wie ich den nächsten Schritt machen soll Falls jemand Tipps für mich hätte währe ich sehr dankbar
25.06.2019, 11:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest noch erwähnen, dass Zählernullstelle $\begin{eqnarray} x_2=-2 \end{eqnarray}$ doppelt vorkommt, ist schließlich wichtig für die Linearfaktorzerlegung sowie das, was nach dem Kürzen übrig bleibt. Das Kürzen von Linearfaktoren, die sowohl in Zähler wie Nenner vorkommen, wäre dann auch der nächste logische Schritt, wobei die originalen Nennernullstellen nach wie vor Stellen bleiben, an denen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht definiert ist! Es bleibt übrig $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{2(x-3)(x+2)}{x+1} \end{eqnarray}$ Hier kann man die Polstelle(n) ablesen. Für die Asymptotendarstellung wäre eine Polynomdivision mit Rest für diesen Funktionsterm angebracht.
25.06.2019, 13:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
-->> Definitionslücke, Nullstellen, Pole, etc. ------- [attach]49425[/attach]
26.06.2019, 11:25	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke für eure Antworten. Also für die Asymptotendarstellung wäre dann ja: $\begin{eqnarray} 2x^2-x-3 : (-x+1)= -2x-1 + \frac{-2}{-x+1} \end{eqnarray}$ mit einem Rest von -2 Auf den ersten Therm bin ich gekommen in dem ich die Klammern im Zähler ausgerechnet habe, ist das soweit richtig? jetzt ist mir nur noch nicht so klar wie ich auf die Definitionslücke komme
26.06.2019, 12:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Polynomdivision ist erstens schon wegen eines Rechenfehlers falsch. Zweitens musst du die Polynomdivision UNBEDINGT mit dem VOLLSTÄNDIGEN Zähler (der Angabe) durchführen! Damit kommt als ganzrationales Polynom 2x - 4 und das liefert denn auch die Gleichung der Asymptote a(x) = 2x - 4 (!) Eine zweite Asymptote: x + 1 = 0 >> x = -1 ergibt sich durch die Polstelle. ------------ Die Lücke(n) werden mittels jener Faktoren bestimmt, durch die du Zähler und Nenner der Angabe gekürzt hast! Diese Faktoren muss man Null setzen. Hier war es offensichtlich (x - 2), also besteht an der Stelle x = 2 eine Definitionslücke. Setzt man 2 in den Originalterm ein, so erhält man die unbestimmte Form [0/0]. Weil der Nenner dort den Wert 0 annimmt, ist die Funktion zunächst dort nicht definiert. Deswegen besteht dort eine Defintionslücke. Diese kann man "beheben", indem an der Stelle 2 jener Wert für die Funktion definiert wird, der sich beim Einsetzen in den gekürzten Term ergibt. Es ist 8/3. Somit ist die Lücke mit dem Punkt (2; 8/3) aufgefüllt. mY+
26.06.2019, 12:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du aber beim Zählerpolynom mächtig daneben gehauen, und aus unerfindlichen Gründen auch noch das Nennerpolynom geändert: Es ist $\begin{eqnarray} 2(x-3)(x+2) = 2x^2-2x-12 \end{eqnarray}$ , und damit dann $\begin{eqnarray} (2x^2-2x-12) : (x+1) = 2x-4 - \frac{8}{x+1} \end{eqnarray}$ Die zugehörige Asymptote $\begin{eqnarray} x\mapsto 2x-4 \end{eqnarray}$ ist in mYthos' Graph ja gut zu erkennen.
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26.06.2019, 12:35	Kurti95	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hatte das bei der Polynomdivision etwas falsch verstanden, womit ich da nun rechnen muss. danke für die Verbesserung habe es nun verstanden

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