Charakteristische Funktion mehrdimensionaler Zufallsvariablen

25.06.2019, 17:29

yannik0103

Charakteristische Funktion mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgaben:
1. Es sei $\begin{eqnarray*} Z=(Z_{1},...,Z_{d}) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable, sodass $\begin{eqnarray*} C<\infty \end{eqnarray*}$ exisiert mit $\begin{eqnarray*} |Z_{j}| \end{eqnarray*}$ für alle j. Zeigen Sie für alle $\begin{eqnarray*} (t_{1},...,t_{d}) \in \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \beta_{Z}((t_{1},...,t_{d}))=\sum\limits_{k_{1},...,k_{d}\in \mathbb N_{0} }^{}\frac{(it_{1})^{k_{1}}x...x(it_{d})^{k_{d}}E[Z_{1}^{k_{1}}x...xZ_{d}^{k_{d}}]}{k_{1}!...k_{d}!} \end{eqnarray*}$
2. X und Y sind genau dann unabhängig wenn $\begin{eqnarray*} \beta_{(X,Y)}(t,s)=\beta_{X}(t)\beta_{Y}(s) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich verstehe leider nicht wie die charakteristische Funktion für mehrdimensionale ZV definiert ist. Für mich sieht die Formel in 1. aus als würde die charakt. Funktion nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ abbilden, aber das würde dann doch in Widerspruch zum Ergebnis aus 2. stehen oder nicht?

26.06.2019, 09:54

HAL 9000

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Eigentlich ist die charakteristische Funktion dieses Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ja definiert als

$\begin{eqnarray*} \beta_Z(t) = \beta_{Z_1,\ldots,Z_d}(t_1,\ldots,t_d) = E\left[\exp\left( i\langle t,Z\rangle\right)\right] = E\left[\exp\left( i\sum_{m=1}^d t_mZ_m\right)\right] \end{eqnarray*}$ .

Was du da hingeschrieben hast, ist das ganze "aufgeblasen", indem für jede der $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Komponenten die Exponentialreihe $\begin{eqnarray*} \exp\left( it_mZ_m\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it_m)^k}{k!} Z_m^k \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird (zur symbolischen Unterscheidung wird in der d-fach verschachtelten Summe dann natürlich aus den einzelnen Indizes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann jeweils ein $\begin{eqnarray*} k_m \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von yannik0103
Für mich sieht die Formel in 1. aus als würde die charakt. Funktion nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ abbilden,

Nein, wieso das? Sie bildet VON $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ NACH $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ab, und so ist es auch korrekt.

Zitat:

Original von yannik0103
so dass $\begin{eqnarray*} C<\infty \end{eqnarray*}$ exisiert mit $\begin{eqnarray*} |Z_{j}| \end{eqnarray*}$ für alle j.

Hier fehlt doch was! Ich vermute mal, da hätte $\begin{eqnarray*} |Z_j|\leq C \end{eqnarray*}$ statt nur $\begin{eqnarray*} |Z_j| \end{eqnarray*}$ stehen sollen? verwirrt

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