Faltung von Funktionen

26.06.2019, 10:12

SebastianM2

Faltung von Funktionen

Hallo,
ich möchte zeigen, dass 2 Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \in L^1(\mathbb{R^n}) \end{eqnarray*}$ eine gewisse Symmetriebedingung erfüllt ist, d.h:
$\begin{eqnarray*} f * g=g*f \end{eqnarray*}$ :
Beweis:
Es gilt also: $\begin{eqnarray*} f*g= \int_{\mathbb{R^n}} f(x-y) g(y) dy \end{eqnarray*}$
Substituiere $\begin{eqnarray*} \phi(y)=x-y \end{eqnarray*}$
Dann gilt doch nach der Dimensionsformel: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R^n}} f(\phi(y)) g(y) | Det(\phi(y)|dy \end{eqnarray*}$

Danach komme ich nicht weiter. Sind meine Schritte vorher überhaupt in Ordnung?

26.06.2019, 10:30

HAL 9000

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Was soll das sein, die Determinante von $\begin{eqnarray*} \phi(y) \end{eqnarray*}$ ? Was du meinst ist die Determinante der Jacobi-Matrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ !

26.06.2019, 10:37

SebastianM2

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RE: Faltung von Funktionen
Dann gilt doch nach der Dimensionsformel: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R^n}} f(\phi(y)) g(y) | Det(D \phi(y)|dy \end{eqnarray*}$

Ach ja stimmt. Ich habe das D vergessen. Dann wäre $\begin{eqnarray*} D\phi(y)=-E_n \end{eqnarray*}$ und davon die Determinante $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ Wie würde es dann weitergehen.

26.06.2019, 10:43

klarsoweit

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RE: Faltung von Funktionen

Zitat:

Original von SebastianM2
Substituiere $\begin{eqnarray*} \phi(y)=x-y \end{eqnarray*}$

Vielleicht solltest du das mal ordentlich definieren: $\begin{eqnarray*} (x, y) = \Phi(u, v) := (v, v-u) \end{eqnarray*}$

Dann sollte das auch formal besser funktionieren.

26.06.2019, 10:46

SebastianM2

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RE: Faltung von Funktionen
Hallo klarsoweit.
Wie würde ich dann nach deiner Defintion weitermachen. Ich bin etwas verwirrt.Wir haben in der Vorlesung das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ von mir genau so definiert.

26.06.2019, 11:26

klarsoweit

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RE: Faltung von Funktionen
Sorry, ich hatte übersehen, daß das x gar nicht Teil der Integrationsvariable ist. Also dann ist $\begin{eqnarray*} y = \Phi(u) := x-u \end{eqnarray*}$ .

Jetzt mußt du nur einsetzen.

26.06.2019, 11:40

SebastianM2

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RE: Faltung von Funktionen
Dann bekomme ich doch

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R^n}} f(x-\phi(u)) g(\phi(u)) | Det(D \phi(u)|du = \int_{\mathbb{R^n}} f((x-(x-u))) g(\phi(u)) du = \int_{\mathbb{R^n}} f(u)) g(x-u) du \end{eqnarray*}$
Das wars ja schon. Man könnte die dummy-Variable u noch durch y ersetzen.
Der Integrationsbereich ändert sich nicht, da der $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ nur verschoben wird.
Passt das?

26.06.2019, 12:04

klarsoweit

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RE: Faltung von Funktionen
Ja, bin einverstanden, wobei ich die Variable u nicht unbedingt als "Dummy-Variable" bezeichnen würde. Wenn du magst, kannst du natürlich am Ende das u wieder durch y ersetzen. smile

26.06.2019, 12:22

SebastianM2

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RE: Faltung von Funktionen
Vielen Dank klarsoweit. Bis dann Freude

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