Pyramidenspitze S durch Diagonalenschnittpunkt berechnen

26.06.2019, 15:16

Letti

Pyramidenspitze S durch Diagonalenschnittpunkt berechnen

Meine Frage:
Hallo Leute,
bei folgenden Aufgaben bräuchte ich eure Hilfe

1)Das Viereck ABCD A(0|0|0), B(15|21|3), C(37|5|5) und D(22|-16|2) ist die Grundfläche einer Pyramide, deren Höhe durch den Diagonalenschnittpunkt des Vierecks geht. Die Spitze S liegt in der x1x3 Ebene. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

Meine Ideen:
In der Aufgabe davor, sollte ich erstmal zeigen, dass das Viereck ABCD in einer Ebene liegt und um welches Viereck es sich handelt -> Rechteck.

Ich weiß, dass man das Volumen durch 1/3*Grundfläche*Höhe bekommt.

Ich habe infolgedessen erstmal den Diagonalenschnittpunkt berechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{ds} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 37 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ich habe dafür den Vektor von A und AC genommen. Wie ich dann weitermachen kann, weiß ich leider nicht. Ich habe vielleicht gedacht, man könnte durch den Diagonalenschnittpunkt eine Gerade legen, aber dafür würde natürlich etwas fehlen. Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

26.06.2019, 18:48

vektor19

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Zitat:

Ich habe vielleicht gedacht, man könnte durch den Diagonalenschnittpunkt eine Gerade legen,

Das kannst du auf jeden Fall tun.
Stelle eine Gerade g durch den Rechtecksmittelpunkt M auf (ich würde nicht mit D oder S arbeiten, da die Punkte schon vergeben sind), die senkrecht zur Rechtecksebene verläuft.
Durch die fett markierten Satzteile hast du Informationen, die du zur Bestimmung des Stütz- und Richtungsvektors von g nutzen kannst.

Gesucht ist dann der Geradenpunkt G, der in der x1x3-Ebene liegt.

01.07.2019, 15:29

Letti

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Hallo,
mir ist bewusst, das M dann der Stützvektor ist von der Geraden g, ist der Richtungsvektor, der Normalenvektor von einer Ebene die ich durch die Punkte bilden könnte?

Beispielsweise: mit A, B, C

$\begin{eqnarray*} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 15 \\ 21 \\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 22 \\ -16 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Normalenvektor wäre demnach (90/36/-702)

Für die x1x3 Ebene habe ich einmal $\begin{eqnarray*} E:\vec{x} = t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie verfahre ich denn weiter??

03.09.2019, 12:43

mYthos

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Auch wenn's schon länger her ist:
Für jeden Punkt der x1x3-Ebene gilt: $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ (Dies ist natürlich auch die Gleichung dieser Ebene)

Setze dies in die Parametergleichung der Geraden ein und berechne damit den Parameter, womit die beiden anderen Koordinaten des Schnittpunktes folgen.

mY+

03.09.2019, 13:25

Letti

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Danke für den Tipp. Es ist nie zu spät für eine Antwort auf eine mathematische Frage.

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