Cauchyfolge

26.06.2019, 17:23

Sven540

Cauchyfolge

Hallo liebes Forum,
es geht um das Verständnis folgendes Beweisteils von dem Satz: Für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \leq \infty \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} L^p(\mu) \end{eqnarray*}$ vollständig.
Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} p= \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} L^{\infty}(\mu) \end{eqnarray*}$ Definiere: $\begin{eqnarray*} E_{n,m} = \{ x \in X: |f_n (x)- f_m(x)|>||f_n-f_m||_{\infty} \} \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \mu(E_{n,m})=0 \end{eqnarray*}$
Warum ist das Maß 0?

26.06.2019, 17:33

HAL 9000

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Das folgt direkt aus der Definition von $\begin{eqnarray*} \|f\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ als "ess sup" (essential supremum) der Werte $\begin{eqnarray*} |f(x)| \end{eqnarray*}$ . Schau dir diese Definition von "ess sup" einfach nochmal genau an.

26.06.2019, 17:44

Sven540

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Die Definition ist ja: $\begin{eqnarray*} ess sup f(x) := inf \{a \in \bar{\mathbb{R}} : f(x) \leq a \mu-fast \ überall \} \end{eqnarray*}$ D.h man nimmt die kleinste aller möglichen Schranke. Und wie soll das dann folgen?

26.06.2019, 18:25

HAL 9000

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Aus dieser Definition ist direkt ablesbar, dass für alle Werte $\begin{eqnarray*} b>\operatorname{ess~sup}(f) \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \mu\left\{ x\in X: f(x)>b \right\} = 0 \end{eqnarray*}$

Die Maßstetigkeit liefert das dann auch für $\begin{eqnarray*} b=\operatorname{ess~sup}(f) \end{eqnarray*}$ , und das ist ja letztlich deine zu beweisende Aussage, angewandt auf $\begin{eqnarray*} f:=f_n-f_m \end{eqnarray*}$ .

26.06.2019, 19:54

Sven540

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Wie genau liest du das aus der Definition ab? Sei s das essentielle Supremum. Dann gilt ja f $\begin{eqnarray*} (x) \leq s \end{eqnarray*}$ fast überall. Warum muss dann die Menge der x für die: $\begin{eqnarray*} f(x)>s \end{eqnarray*}$ gilt eine Nullmenge sein?

26.06.2019, 20:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sven540
Dann gilt ja f $\begin{eqnarray*} (x) \leq s \end{eqnarray*}$ fast überall. Warum muss dann die Menge der x für die: $\begin{eqnarray*} f(x)>s \end{eqnarray*}$ gilt eine Nullmenge sein?

Was ist denn die Definition von " $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -fast überall" ? Forum Kloppe

26.06.2019, 21:27

Sven540

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Ja jetzt ist es klar.

Zitat:

Original von HAL 9000

Die Maßstetigkeit liefert das dann auch für $\begin{eqnarray*} b=\operatorname{ess~sup}(f) \end{eqnarray*}$ , und das ist ja letztlich deine zu beweisende Aussage, angewandt auf $\begin{eqnarray*} f:=f_n-f_m \end{eqnarray*}$ .

Kannst du mir noch kurz sagen, wie das genau folgt?

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