Parameterdarstellung von Kurven

26.06.2019, 19:54	Matheniete356	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung von Kurven Meine Frage: Hallo ich halte meine gfs in Mathe zu dem Thema parameterdarstellung von Kurven. Jedoch weiß ich leider nicht wie ich sie gestalten soll, damit meine Mitschüler das Thema möglichst gut verstehen. Kann mir vielleicht jemand helfen? Danke im Vorraus! Meine Ideen: Ich würde gerne am Anfang auf den Begriff Parameter eingehen damit das Thema wieder in den Kopf gerufen wird. Hat jemand noch Ideen?
26.06.2019, 22:34	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Da stellen sich zunächst einige Fragen: Wie ist groß soll der Umfang sein, wie lang die Vortragszeit? Darf Vektorrechnung vorausgesetzt werden? Darf Differentialrechnung vorausgesetzt werden? Darf Integralrechnung vorausgesetzt werden? Zu Parameterkurven gibt es u.a. die folgenden Themen: Grundlagen zu Parameterkurven, Vektorrechnung und ebener Geometrie (ohne Voraussetzung, man erklärt alles im Zusammenhang) implizite Kurve zu einer Parameterkurve finden, das geht manchmal, vor allem lassen sich damit u.a. auch trigonometrische Formeln einüben Stetigkeit von Parameterkurven (erfordert Konvergenztheorie von Zahlenfolgen, evtl. auch von Punktfolgen) Tangentialvektor und Geschwindigkeit (erfordert Differentialrechnung) Krümmung von Parameterkurven (erfordert Differentialrechnung) kinetische Energie einer Punktmasse, Beschleunigungsvektor rechtwinklig zum Tangentialvektor bei Bogenlängenparametrisierung (erfordert Differential- und Vektorrechnung) Bogenlänge von Parameterkurven (erfordert Integralrechnung) Flächeninhalt von durch Parameterkurven berandeten Gebieten (erfordert Differential- und Integralrechnung) Optimierungsprobleme mit Parameterkurven als Nebenbedingung (erfordert Differentialrechnung) Totalkrümmung und Tangentenumlaufzahl (erfordert Differential- und Integralrechnung)
26.06.2019, 22:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein wichtiger Begriff für die Arbeit sind sicher auch Kurven. Suche nach "kurven mathematik" um ein paar gute Beispiele zu finden.
26.06.2019, 23:57	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Parmeterkurve ist eine Abbildung $\begin{eqnarray} c\colon\mathbb R\to E \end{eqnarray}$ , die reellen Zahlen $\begin{eqnarray} t\in\mathbb R \end{eqnarray}$ Punkte $\begin{eqnarray} c(t) \end{eqnarray}$ in der euklidischen Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ zuordnet. Die Punkte der euklidischen Ebene würde man gerne durch Zahlen beschreiben. Dazu benötigt man ein Koordinatensystem, das ist eine umkehrbar eindeutige Abbildung $\begin{eqnarray} F\colon E\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , die es ermöglicht, Punkte aus $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ durch Paare $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ darstellen zu können. In der Verkettung $\begin{eqnarray} r\colon \mathbb R\to\mathbb R^2,\quad r(t):=F(c(t)) \end{eqnarray}$ kommt die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ nun nicht mehr explizit vor. Die Parameterkurve $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ heißt Koordinatendarstellung von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ bezüglich des Koordinatensystems $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ . Normale Parameterkurven stellt man sich wie mit dem Stift ohne Absetzen durchgezogene Linien vor. Wir wollen solche Parameterkurven als stetig bezeichnen. Ändert sich der Parameter ausgehend von der Stelle $\begin{eqnarray} t_0 \end{eqnarray}$ nun sehr geringfügig zu $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_1\approx t_0 \end{eqnarray}$ , wobei der Abstand $\begin{eqnarray} \|t_1-t_0\| \end{eqnarray}$ so gering wie möglich sein soll, dann muss auch $\begin{eqnarray} c(t_1)\approx c(t_0) \end{eqnarray}$ sein, denn sonst würde die Kurve $\begin{eqnarray} c(t) \end{eqnarray}$ im Rahmen der augenscheinlichen Genauigkeit einen Sprung machen. Eigentlich sollte unter einer beliebig vergrößernden Lupe ebenfalls kein Sprung sichtbar sein, das führt dann zum Epsilon-Delta-Kriterium, ich will das jetzt nicht näher ausführen. Das gleiche sollte auch für $\begin{eqnarray} r(t) \end{eqnarray}$ gelten. Dies lässt aber allein den Schluss zu, dass $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ebenfalls eine stetige Abbildung sein muss, denn andernfalls könnte die geringfügige Änderung in $\begin{eqnarray} c(t) \end{eqnarray}$ zu einem Sprung von $\begin{eqnarray} F(c(t)) \end{eqnarray}$ führen. Die Verkettung von stetigen Abbildungen ist der Anschauung nach offenbar auch wieder stetig. Für ein sehr kleines $\begin{eqnarray} t_1\approx t_0 \end{eqnarray}$ sollte nun auch $\begin{eqnarray} r(t_1)=\begin{bmatrix} x(t_1)\\ y(t_1)\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix} x(t_0)\\ y(t_0)\end{bmatrix}=r(t_0) \end{eqnarray}$ sein. Das ist aber bedeutungsgleich mit $\begin{eqnarray} x(t_1)\approx x(t_0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(t_1)\approx y(t_0) \end{eqnarray}$ . D.h. die Koordinaten müssen dicht beieinander liegen. Offenbar sind Parameterkurven genau dann stetig, wenn die Koordinatenfunktionen stetig sind, das sind die Funktionen $\begin{eqnarray} x\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ . Man weiß nun aber, dass differenzierbare Funktionen auch stetig sind. Gemäß den Ableitungsregeln lässt sich aus gegebenen differenzierbaren Funktionen sofort eine unüberschaubare Fülle von neuen differenzierbaren Funktionen konstruieren. Beispiel: $\begin{eqnarray} r\colon\mathbb R\to\mathbb R^2,\quad r(t):=\begin{bmatrix}\cos(t)\\ \sin(2t)\end{bmatrix}. \end{eqnarray}$ Diese Parameterkurve muss zwingend stetig sein, denn $\begin{eqnarray} x(t):=\cos(t) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(t):=\sin(2t) \end{eqnarray}$ sind gemäß den Ableitungsregeln differenzierbar.
27.06.2019, 00:11	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Man benötigt noch nicht einmal Differentialrechnung. Es genügt zu wissen, dass Verkettungen von stetigen Abbildungen wieder stetig sind. Auch Summen, Differenzen und Produkte von stetigen Funktionen sind wieder stetig. Das gilt auch für Quotienten, sofern der Nenner im betrachteten Bereich frei von Nullstellen ist.

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