Hensel'sches Lemma anwenden

26.06.2019, 21:22

Südsee

Hensel'sches Lemma anwenden

Meine Frage:
Guten Abend,

dieses Mal habe ich nur eine Frage zur Anwendung des Hensel'schen Lemmas auf ein Beispiel, nämlich die Nullstelle(n) des Polynoms $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-11 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_7 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hensel'sches Lemma: Sei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Polynom mit ganzzahligen p-adischen Koeffizienten und $\begin{eqnarray*} F' \end{eqnarray*}$ die Ableitung.
Gibt es ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(\alpha ) \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F'(\alpha ) \not \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein eindeutig bestimmtes $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(a) \equiv 0 \pmod p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \equiv \alpha \pmod p \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p(2)=-7\equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p'(2)=4\not \equiv 0 \pmod 7 \end{eqnarray*}$

Die Iterationsvorschrift ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n-\frac{p(a_n)}{p'(a_n)} \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} \alpha = a_0 \end{eqnarray*}$ als Startwert: $\begin{eqnarray*} a_1=2-\frac{p(2)}{p'(2)}=\frac{15}{4} \end{eqnarray*}$

Aber sollte nicht eine Zahl $\begin{eqnarray*} a_1\in \{0,1,2,3,4,5,6\} \end{eqnarray*}$ herauskommen?

26.06.2019, 21:44

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RE: Hensel'sches Lemma anwenden
$\begin{eqnarray*} \frac{15}{4}=15\cdot 4^{-1} \end{eqnarray*}$ .

26.06.2019, 21:57

Südsee

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RE: Hensel'sches Lemma anwenden
Ich wollte jetzt nicht sofort "verstehe ich nicht" antworten, sondern erst darüber nachdenken. Leider reicht mir dein Hinweis noch nicht... modulo p darstellen ergäbe ja auch keinen Sinn... verwirrt

26.06.2019, 22:02

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RE: Hensel'sches Lemma anwenden
Es gilt doch $\begin{eqnarray*} 2\cdot 4 \equiv 1 \bmod 7 \end{eqnarray*}$ , also ist 2 das Inverse von 4, also $\begin{eqnarray*} 4^{-1}=2 \end{eqnarray*}$
Edit: Vergiss das, ich habe keine Ahnung Forum Kloppe

27.06.2019, 09:52

Südsee

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RE: Hensel'sches Lemma anwenden

Zitat:

Original von URL
Edit: Vergiss das, ich habe keine Ahnung Forum Kloppe

Kein Problem! Irgendjemand hier weiß es bestimmt smile

Danke trotzdem für deine Mühe und Antwort!

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